Układanka - rekursja

[hutsaloviaheslav1998]

Rozważ układankę z dwoma elementami R i L z następującą regułą podstawiania: element R zastąp
przez RL,
a element L zastąp przez R. Postępuj w podany sposób n−krotnie. Wyznacz stosunek liczby
elementów R do
liczby elementów L w n−tym kroku układanki i omów jego granicę przy n → \( \infty \)

[hutsaloviaheslav1998]

Nie trzeba obliczać tej granicy o którą pytają w zadaniu. Tylko sama rekursja. Jak ten stosunek wyznaczyć?

[kerajs]

Niech \(r_i\) to liczba liter R w i-tym kroku, a \(l_i\) to liczba liter L w i-tym kroku.
Reguła wymusza układ rekurencji:
\( \begin{cases} r_{k+1}=r_k+l_k\\ l_{k+1}=r_k \end{cases} \)
przy warunku początkowym \(r_1=l_1=l_2=1 \ \ , \ \ r_2=2 \)
Wstawiając \(l_k=r_{k-1}\) do pierwszego równania widać że r(n) i l(n) to przesunięte o 1 ciągi Fibonacciego. Szukany stosunek to F_{n+1}/F_n , a granicą jest złota liczba.

[hutsaloviaheslav1998]

Niech \(r_i\) to liczba liter R w i-tym kroku, a \(l_i\) to liczba liter L w i-tym kroku.
Reguła wymusza układ rekurencji:
\( \begin{cases} r_{k+1}=r_k+l_k\\ l_{k+1}=r_k \end{cases} \)
przy warunku początkowym \(r_1=l_1=l_2=1 \ \ , \ \ r_2=2 \)

taka mała dygresja odnośnie tego zapisu. Zapisałeś tą rekursje tak:
\( \begin{cases} r_{k+1}=r_k+l_k\\ l_{k+1}=r_k \end{cases} \)
a można przy użyciu elementu i?
\( \begin{cases} r_{i+1}=r_i+l_i\\ l_{i+1}=r_i \end{cases} \)
zważywszy na to że tutaj podajesz element i:

Niech \(r_i\) to liczba liter R w i-tym kroku, a \(l_i\) to liczba liter L w i-tym kroku

Czy może w ten sposób chciałeś osiągnąć coś innego. Przepraszam jeśli czepiam się szczegółów tylko chce mieć pewność, że to nie zmieni istoty rozwiązania treści zadania.

[kerajs]

taka mała dygresja odnośnie tego zapisu. Zapisałeś tą rekursje tak:
\( \begin{cases} r_{k+1}=r_k+l_k\\ l_{k+1}=r_k \end{cases} \)
a można przy użyciu elementu i?
\( \begin{cases} r_{i+1}=r_i+l_i\\ l_{i+1}=r_i \end{cases} \)

Można.