trójmian

[anilewe_MM]

Trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+bx+c\) ma dwa rożne pierwiastki całkowite, oba różne od zera, a suma jego współczynników \(1+b+c\) jest liczbą pierwszą.
a) podaj przykład takiego trójmianu,
b) uzasadnij, że \(2\) jest jednym z jego pierwiastków.

[Jerry]

Niech \(1+b+c=p\), gdzie \(p\) jest liczbą pierwszą.

Aby warunki zadania były spełnione, musi
\(b,c\in\zz\), \(c\ne0\) oraz \(\Delta=m^2\wedge m\in\zz_+\).
\[b^2-4(p-1-b)=m^2\\
b^2+4b+4-m^2=4p\\
(b+2)^2-m^2=4p\\
(|b+2|-m)(|b+2|+m)=2\cdot2p\]
Czynniki lewej strony są zgodnej parzystości, zatem obydwa są parzyste i pierwszy z nich jest mniejszy. Ostatecznie
\[+\underline{\begin{cases}|b+2|-m=2\\|b+2|+m=2p\end{cases}}\\2|b+2|=2p+2\\ |b+2|=p+1\\ b+2=-p-1\vee b+2=p+1\\ \begin{cases}b=-p-3\\c=2p+2\end{cases}\vee\begin{cases}b=p-1\\c=0\end{cases}\]
Wobec \(c\ne0\) mamy, dla \(p\) liczby pierwszej spełniający warunki zadania, trójmian:
\[f(x)=x^2-(p+3)x+2p+2\]
Odpowiedzi:

1. \(p=2\So f(x)=x^2-5x+6\\
   p=3\So f(x)=x^2-6x+8\\ \ldots \\ \)
2. \(f(2)=2^2-(p+3)\cdot2+2p+2=0\\ \qquad\text{CKD}\)

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Ja dorzucę swój pomysł:
Skoro \( f(x) \) ma dwa pierwiastki całkowite to możemy zapisać:
\( x_1 + x_2 = -b \ \wedge x_1 \cdot x_2 = c \). Wtedy mamy:
\(1 + b + c = 1 - (x_1 + x_2) + x_1 \cdot x_2 = (x_1 - 1)(x_2 - 1) = p \) gdzie \( p \) jest liczbą pierwszą.
Stąd albo \( x_1 - 1 = 1 \) albo \( x_1 - 1 = -1 \), ale drugą opcję odrzucamy ze względu na \( x_1 = 0 \) co jest sprzeczne z założeniem odnośnie pierwiastków różnych od zera.
Stąd \( x_1 = 2 \So x_2 = p + 1 \)
Przykładowe wielomiany jak u Jerry

[Maciek32]

Aby warunki zadania były spełnione, musi
\(b,c\in\zz\), \(c\ne0\) oraz \(\Delta=m^2\wedge m\in\zz_+\) \(\bez \left\{ 0\right\} \)

1. dlaczego za deltę przyjąłeś własnie to?
2. dlaczego b i c muszą być całkowite?
3. I czy moja uwaga na czerwono jest słuszna czy mylna?

[Jerry]

1. żeby pierwiastek z wyróżnika "się policzył" - jeśli byłby niewymierny, to nie byłoby szans na wymierne pierwiastki,
2. jeśli \(x_1,\ x_2\in\zz\), to \(-b=x_1+x_2\in\zz,\ c=x_1\cdot x_2\in\zz\). co bardzo fajnie wykorzystał Icanseepeace ,
3. zero nie jest liczbą całkowitą dodatnią, zatem nie widzę potrzeby uwzględniania Twojej uwagi.

Pozdrawiam

[Maciek32]

1. Ale w ostateczności nie wyliczyłeś pierwiastka z wyróżnika. To po co?
2. A dlaczego liczby ujemne całkowite wykluczyłeś?

[Jerry]

1. Żeby zagwarantować istnienie pierwiastków i .... żebym miał co wyredukować w 9. wierszu rozwiązania,
2. bo pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną.

Pozdrawiam

[Maciek32]

2. Ale podniesione do kwadratu

[janusz55]

Założenia:
\( p_{1} \in \zz , \ \ p_{1} \neq 0, \ \ p_{2} \in \zz, \ \ p_{2} \neq 0\) - pierwiastki trójmianu kwadratowego \( t(x) = x^2 +bx + c.\)

\( t(1) = 1 + b + c \in \mathcal{P}, \ \ \mathcal{P} \) - zbiór liczb pierwszych.

Postać iloczynowa trójmianu:

\( t(x) = ( x-p_{1})\cdot (x-p_{2}).\)

Stąd

\( t(1) = (1- p_{1})\cdot (1-p_{2}) \)

KIedy iloczyn liczb: \( (1-p_{1}), (1-p_{2}) \) jest liczbą pierwszą ?

Wtedy, gdy jedna z nich jest równa \( 1 \) lub \( -1, \) a druga jest liczbą pierwszą lub odwrotnie.

Niech \( 1- p_{1} = 1 \rightarrow p_{1} = 0 \) FAŁSZ, bo z założenia \( p_{1} \neq 0.\)

\( 1 - p_{1} = -1 \rightarrow p_{1} = 2 \in \zz , \ \ 2>0 . \) PRAWDA, czyli jednym z pierwiastków trójmianu \( t(x) \) musi być liczba \( 2,\)

a drugim pierwiastkiem \( 1- p_{2} \in \mathcal{P} \rightarrow p_{2} \in \mathcal{P} \cup \{1 \}.\)

Takich trójmianów, spełniających warunki zadania jest nieskończenie wiele.

Napiszmy kilka z nich:

\( t_{1}(x) = (x-2)\cdot (x- 4) = x^2 -6x +8. \)

Sprawdzenie

\( p_{1} = 2 \in \zz, \ \ 1- p_{2} = 3 \rightarrow p_{2} = 4\in \zz.\)

\( t_{1}(1) = (1 -2)\cdot(1-4) = 3 \in \mathcal{P} \)

Podobnie:

\( t_{2}(x) = (x-2)\cdot (x-3) = x^2 - 5x +6, \)

\( t_{3}(x) = (x-2)\cdot (x-8) = x^2 -10 x +16.\)

itd.

[Icanseepeace]

a drugim pierwiastkiem \( 1- p_{2} \in \mathcal{P} \rightarrow p_{2} \in \mathcal{P} \cup \{1 \}.\)

W jaki sposób powinniśmy rozumieć powyższy zapis?

[janusz55]

Jako liczby należące do zbioru \( \{ 2+1, 3+1, 5+1, 7+1, ..., \}. \)

[Icanseepeace]

Jako liczby należące do zbioru \( \{ 2+1, 3+1, 5+1, 7+1, ..., \}. \)

Czyli nie jest to suma zbiorów a bardziej dodawanie liczby rzeczywistej do każdego elementu pewnego zbioru.
Wydaje mi się, że lepszym oznaczeniem będzie tutaj:
\( 1 + \mathbb{P} \)
rozumiane w sensie dodawania Minkowskiego

[janusz55]

Można, to działanie określić jako sumę H. Minkowskiego i zapisać \( \mathcal{P} + \{1\}.\)

Lub opisać jako zbiór liczb pierwszych powiększonych o liczbę \(1.\)

Dziękuję za zwrócenie uwagi.