granica ciągu

[franco11]

Wyznacz granicę ciągu:
\(a_n=(1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2})(1- \frac{1}{4^2})....(1- \frac{1}{n^2}) \)

[Jerry]

Hint:
\[1-{1\over k^2}={k^2-1\over k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k\cdot k}\]
i wymnożyć...

Pozdrawiam

[janusz55]

\( a_n=(1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2})(1- \frac{1}{4^2})...(1- \frac{1}{n^2})\)

\( 1- \frac{1}{2^2} = \frac{2^2-1}{2^2} = \frac{2-1}{2}\cdot \frac{2+1}{2};\)

\( 1 - \frac{1}{3^2} = \frac{3^2-1}{3^2} = \frac{3-1}{3}\cdot \frac{3+1}{3};\)

\( 1 - \frac{1}{4^2} = \frac{4^2-1}{4^2} = \frac{4-1}{4}\cdot \frac{4+1}{4};\)

......................................

\( 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2-1}{n^2} =\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n}{n+1}.\)

\( \lim_{n\to \infty} a_{n} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\right)\cdot ...\cdot \left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n+1}{n}\right) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{2}.\)

[Maciek32]

...= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}

A to dlaczego tyle jest równe?

[janusz55]

Bo nie uprościły się do jedynki pierwszy i ostatni czynnik tego iloczynu.

[janusz55]

Dokładniejszy zapis obliczenia granicy

\(\lim_{n\to \infty} a_{n} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\right)\cdot ...\cdot \left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n+1}{n}\right) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{2}.\)

[Maciek32]

No i dalej nie wiem skąd się to bierze.

[janusz55]

\( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1,\)

\( \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4} = 1,\)

\( \frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5} = 1,\)

..................

\( \frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n} = 1.\)

Nie wymnożył się "do jedynki"- iloczyn pierwszego i ostatniego czynnika \( \frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n} \), który dąży do \( \frac{1}{2} \) przy \( n\rightarrow \infty.\)

Czynniki o iloczynie \( 1 \) możemy napisać w granicy jako \( \frac{n}{n}.\)

[Jerry]

No i dalej nie wiem skąd się to bierze.

To, to znaczy dlaczego
\(a_n=\frac{n+1}{2n}\)
czy
\(\Limn a_n=\Limn \frac{1+{1\over n}}{2}={1\over2}\)


Pozdrawiam

[janusz55]

\( \lim_{n\to \infty} a_{n} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \lim_{n\to \infty}\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}\right)\cdot \lim_{n\to \infty}\left(\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}\right)\cdot \lim_{n\to \infty} \left(\frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5}\right) \cdot ...\cdot \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n}\right)\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{n} =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{2} \cdot \lim_{n\to \infty} 1 \cdot \)
\(\lim_{n\to \infty}1 \cdot \lim_{n\to \infty} 1 =\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{n} = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}.\)

[Maciek32]

No i dalej nie wiem skąd się to bierze.

To, to znaczy dlaczego
\(a_n=\frac{n+1}{2n}\)
czy
\(\Limn a_n=\Limn \frac{1+{1\over n}}{2}={1\over2}\)


Pozdrawiam

A dlaczego ciąg \(a_n \) jest tyle równy?

[Jerry]

...dlaczego ciąg \(a_n \) jest tyle równy?

Wykorzystajmy

Hint:
\[1-{1\over k^2}={k^2-1\over k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k\cdot k}\]

\[a_n=\left(1- \frac{1}{2^2}\right)\left(1- \frac{1}{3^2}\right)\left(1- \frac{1}{4^2}\right)....\left(1- \frac{1}{n^2}\right)=\\
=\dfrac{1\cdot\color{pink}{3}}{2\cdot\color{green}{2}}\cdot\dfrac{\color{green}{2}\cdot\color{red}{4}}{\color{pink}{3}\cdot\color{blue}{3}}\cdot\dfrac{\color{blue}{3}\cdot\color{orange}{5}}{\color{red}{4}\cdot\color{brown}{3}}\cdot\ldots\cdot\dfrac{\color{brown}{(n-1)}\cdot(n+1)}{\color{orange}{n}\cdot n}=\\=\dfrac{n+1}{2n}\]
bo "kolorowe" czynniki się pokreślają...

Pozdrawiam