Inny sposób na zadanie.

[mosdef21]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n≥1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).
Wiem jaki jest dowód tego zadania ale ja szukam czegoś innego, mianowicie czy mogę to udowodnić w sposób, że mogę wykorzystać tutaj jakoś podzielność powyższego wielomianu przez wielomian \(x-6\)?

[Icanseepeace]

On nie jest podzielny przez \(n-6\).
Raczej nie ma co kombinować bo rozkład jest tutaj widoczny na pierwszy rzut oka.
To co mi się nasuwa to MTF wykorzystane kilka razy dla liczb pierwszych \( 2 \) i \( 3 \), ale jest to zdecydowanie overkill.

[mosdef21]

a co to MTF

[Icanseepeace]

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e ... ie_Fermata
Oczywiście poza dowodami licealnymi jest jeszcze dowód wykorzystujący indukcję matematyczną.

[mosdef21]

OK, dzięki ale czy w tego typu zadaniu można wykorzystać podzielność przez powiedzmy dwumian. Bo jeśli ten wielomian by był podzielny to można coś wywnioskować że ta liczba jest podzielna przez składnik \(a\) w dwumianie \((x-a)\) czy to nie ma nic wspólnego?

[Icanseepeace]

Nie ma nic wspólnego bo podzielność ma zachodzić na pewnego zbioru liczb ( w tym wypadku N) a nie dla wybranej.

[mosdef21]

Czyli tylko rozkład i wnioskowanie na podstawie podzielności składników?