Prawdopodobieństwo całkowite

[hutsaloviaheslav1998]

Takie zadanie z prawdopodobieństwa całkowitego:

W urnie mamy 10 kul białych i 7 kul czarnych. Wyciągamy jedną losową kulę i wyrzucamy ją, nie sprawdzając koloru. Jaka jest szansa wyciągnięcia za drugim razem kuli białej?

tutaj jest przedstawione rozwiązanie:

Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia:
A - za drugim razem wyciągnęliśmy kulę białą,
B - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą,
C - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:

A tutaj są obliczenia
\(
P \left( A\right) = P \left( A|B\right) \cdot P \left( B\right) + P \left( A|C\right) \cdot P \left(C\right)
\)
Jak obliczyć to
\(
P \left( A|B\right) = \frac{9}{16}
\)
dlaczego tyle
i to
\(
P \left( A|C\right) = \frac{10}{16}
\)
i też dlaczego tyle. Jak to obliczyć?

[Jerry]

...dlaczego tyle. Jak to obliczyć?

Najbardziej elementarnie, jak to można sobie wyobrazić... prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek w rzucie kością do gry jest równe \({3\over6}\), bo interesują nas trzy spośród sześciu ścianek!. Czyli

• Jeżeli zaszła hipoteza \(B\): odrzucamy białą kulę (z prawdopodobieństwem \(p(B)={10\over17}\)), to w urnie zostało \(9\) kul białych i \(7\) kul czarnych (razem \(16\)), zatem prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) - wylosowaliśmy białą - jest równe \(p(A|B)={9\over16}\)
• Jeżeli zaszła hipoteza \(C\): odrzucamy czarną kulę (z prawdopodobieństwem \(p(C)={7\over17}\)), to w urnie zostało \(10\) kul białych i \(6\) kul czarnych (razem \(16\)), zatem prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) - wylosowaliśmy białą - jest równe \(p(A|C)={10\over16}\)

I dalej z podanego wzoru...

Pozdrawiam
PS. Pisałem o prawdopodobieństwie Szansa jest innym pojęciem
Np.: Szansa wyrzucenia parzystej liczby oczek w rzucie kością do gry jest równa \(3:3\), prawdopodobieństwo, jak pisałem, \({3\over6}={1\over2}\).

[eresh]

\(A|B\) - jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy biała kulę, to zostało nam 9 białych. Mamy więc \(P(A|B)= \frac{9}{16} \)
podobnie z drugim prawdopodobieństwem.

[hutsaloviaheslav1998]

\(A|B\) - jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy biała kulę, to zostało nam 9 białych. Mamy więc \(P(A|B)= \frac{9}{16} \)
podobnie z drugim prawdopodobieństwem.

też tak myślałem. No dobrze, a to drugie. Tam mamy 7 kul czarnych. Jeśli wyjme jedną to mam 6, a nie 10.

[janusz55]

Doświadczenie losowe opisane w treści zadania polega na:

-losowaniu jednej kuli z urny zawierającej \( 10 \) kul białych i \( 7 \) kul czarnych - etap 1

- wrzuceniu wyciągniętej w etapie pierwszym kuli do urny i losowaniu kuli z urny - etap II.

Oznaczenie zdarzeń:

\( b \) - "kula biała",
\( c \) - "kula czarna".

\( B \) - " za drugim razem wyciągnięto kulę białą"

Zakładamy, że wylosowanie każdej kuli z urny za każdym razem jest jednakowo możliwe.

Etap 1

\( (\Omega_{1}, P_{1}):\)

\( \Omega_{1} = \{ b, c\} \)

\( P_{1}(\{b\}) = \frac{10}{17}, \ \ P_{1}(\{c\}) = \frac{7}{17}.\)

Etap 2

\( (\Omega_{2}, P_{2}) \)

\( \Omega_{2} =\{b , c\}.\)

\( P_{2}(b) = \frac{10}{17}, \ \ P_{2}(c) = \frac{7}{17}.\)

Model łączny etapu I i II:

\( (\Omega, P) \)

\( \Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2} = \{ (b,b), (b,c),(c,b), (c,c)\}.\)

\( P(\{b,b\}) = \frac{10}{17}\cdot \frac{10}{17} = \frac{100}{289},\)

\( P(\{b,c\}) = \frac{10}{17}\cdot \frac{7}{17} = \frac{70}{289},\)

\( P(\{c,b\}) = \frac{7}{17}\cdot \frac{10}{17} = \frac{70}{289},\)

\( P(\{c,c\}) = \frac{7}{17}\cdot \frac{7}{17} = \frac{49}{289}.\)


\( B = \{(b,b), (c,b)\}. \)

\( P(B) = P(\{(b,b)\}) + P(\{c,b\}) = P_{1}(b)\cdot P_{2}(b) + P_{1}(c)\cdot P_{2}(b).\)

\( P(B) = \frac{10}{17}\cdot \frac{10}{17} + \frac{7}{17}\cdot \frac{10}{17} = \frac{170}{289} = 0,5882. \)

W wyniku realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w około \( 59 \% \) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy za drugim razem kulę białą.