Rozwiązać problem Cauchy'ego:
\(x' - \frac{2x}{t+1} = (1+1)^3, x(1) = 2\)
Problem Cauchy'ego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1557
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 410 razy
Re: Problem Cauchy'ego
\( x' - \frac{2x}{t+1} = (t+1)^3, \ \ x(1) = 2.\)
RORJ:
\( x' - \frac{2x}{t+1} = 0\)
\( \frac{x'}{x} = \frac{2}{t+1}\)
\( \int \frac{1}{x}dx = \int \frac{2}{t+1}dt \)
\(\ln|x| = 2\ln|t+1|+ \ln(C) = \ln(t+1)^2 +\ln(C) = C(t+1)^2.\)
\( x_{o} (t) = C(t+1)^2.\)
RORN:
Uzmienniamy stałą \( C. \)
\( x(t) = C(t) (t+1)^2 \)
\( C'(t)(t+1)^2 + 2C(t) (t+1) -2C(t)(t+1) = (t+1)^3 \)
\( C'(t) = t+1 \)
\( C(t) = \int (t+1) dt = \frac{1}{2}t^2 + t + A \)
\( x(t) = \left[ \frac{1}{2}t^2 +t+ A\right](t+1)^2.\)
RSRN:
\( 2 = \left[ \left( \frac{1^2}{2} +1\right)+ A \right](1 +1)^2 \)
\( 2 = \left(\frac{3}{2} + A\right)\cdot 4 \)
\( 2 = 6 + 4A \)
\( -1 = A \)
\( x_{s}(t) = \left [\frac{1}{2}t^2 +t -1\right](t +1)^2.\)
RORJ:
\( x' - \frac{2x}{t+1} = 0\)
\( \frac{x'}{x} = \frac{2}{t+1}\)
\( \int \frac{1}{x}dx = \int \frac{2}{t+1}dt \)
\(\ln|x| = 2\ln|t+1|+ \ln(C) = \ln(t+1)^2 +\ln(C) = C(t+1)^2.\)
\( x_{o} (t) = C(t+1)^2.\)
RORN:
Uzmienniamy stałą \( C. \)
\( x(t) = C(t) (t+1)^2 \)
\( C'(t)(t+1)^2 + 2C(t) (t+1) -2C(t)(t+1) = (t+1)^3 \)
\( C'(t) = t+1 \)
\( C(t) = \int (t+1) dt = \frac{1}{2}t^2 + t + A \)
\( x(t) = \left[ \frac{1}{2}t^2 +t+ A\right](t+1)^2.\)
RSRN:
\( 2 = \left[ \left( \frac{1^2}{2} +1\right)+ A \right](1 +1)^2 \)
\( 2 = \left(\frac{3}{2} + A\right)\cdot 4 \)
\( 2 = 6 + 4A \)
\( -1 = A \)
\( x_{s}(t) = \left [\frac{1}{2}t^2 +t -1\right](t +1)^2.\)