Układ równań

[NoXyeS]

Dowolną metodą rozwiązać układ równań:
\( \begin{cases} x' = 2y - x \\
y' = 4y - 3x + \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} \end{cases} \)

[janusz55]

Preferuję metodę diagonalizacji macierzy układu.

Proszę zajrzeć tutaj

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=100453

W razie trudności proszę o kontakt.

[NoXyeS]

Nie ma jakiejś łatwiejszej metody xD? Wydaje mi się to strasznie skomplikowane. Dało by się jakoś wyliczyć coś z pierwszego równania i podstawić do drugiego tak jak z normalnymi układami równań?

Może na prostszym przykładzie:

\( \begin{cases} x' = 2x + 4y - 8 \\
y' = 3x + 6y \end{cases} \)

[janusz55]

\( \begin{cases} x' = 2x + 4y - 8 \\
y' = 3x + 6y \end{cases} \)

Na przykład pierwsze równanie mnożymy przez 3 drugie przez -2 i dodajemy równania stronami:

\( 3x' -2y' = 24 \)

Stąd

\( y' = \frac{3}{2}x' -24 \ \ (1) \)

\( y" = \frac{3}{2}x" \ \ (2) \)

Obliczamy na przykład drugą pochodną z drugiego równania:

\( y" = 3x' + 6y' \)

Stąd

\( x' = \frac{1}{3}(y" - 6y') \ \ (3) \)

Podstawiamy równania \( (1), (2) \) do równania \( (3) \)

\( x' = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2} x" - 9x' +72\right ) \)

\( x' = 3x" -3x' + 24 \)

\( 3x" - 4x' +24 = 0 \)

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu - niejednorodne, z którego wyznaczamy funkcję \( x(t). \)

Funkcję \( y(t) \) znajdujemy z równania \( y" = \frac{3}{2}x". \)

[NoXyeS]

Preferuję metodę diagonalizacji macierzy układu.

Proszę zajrzeć tutaj

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=100453

W razie trudności proszę o kontakt.

Odnośnie tej metody, to czym się różni \( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ 0 \end{bmatrix} \)

od rozwiązywania \( x' = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\
3 & 6\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} -8 \\
0\end{bmatrix}\)?

[janusz55]

To drugie równanie macierzowe jest złe, bo nie uwzględnia funkcji \( y(t).\)

[NoXyeS]

To drugie równanie macierzowe jest złe, bo nie uwzględnia funkcji \( y(t).\)

Ale gdybym miała oba takie zadania, to czym różniłoby się ich rozwiązanie?

[janusz55]

Ta druga postać macierzowa jest zła! Nie może być brana pod uwagę do rozwiązywania.

[NoXyeS]

Ta druga postać macierzowa jest zła! Nie może być brana pod uwagę do rozwiązywania.

Ale nie w tym zadaniu. Gdyby były 2 osobne zadania jedno z tym pierwszym a drugie z drugim. Czym by różniło się ich rozwiązanie?

[janusz55]

Wtedy musiałyby być macierze jednoelementowe \( [a]. \)

[NoXyeS]

Wtedy musiałyby być macierze jednoelementowe \( [a]. \)

ale mieliśmy takie zadania?

[NoXyeS]

Wtedy musiałyby być macierze jednoelementowe \( [a]. \)

ahh, przepraszam w takich zadaniach zawsze mieliśmy dopisane, że \( x(t) = { x_1(t) \choose x_2(t)} \) i rozumiem, że to już byłoby rozwiązywane tak samo jak z \( \begin{bmatrix} x' \\ y'\end{bmatrix}\)?

Czyli takie zadnia:

1)
\( \begin{cases} x' = 2y - x \\
y' = 4y - 3x + \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} \end{cases} \)

2)
\( x' = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\
3 & 6\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} -8 \\
0\end{bmatrix}\), gdzie \( x(t) = { x_1(t) \choose x_2(t)} \)

można rozwiązywać taką samą metodą?

[janusz55]

Tak można rozwiązać tą metodą. Jest to skrócony zapis macierzowy układu równań różniczkowych.