forum.zadania.info

Niech w będzie wielomianem trzeciego stopnia, którego jedynymi pierwiastkami są liczby \(1\) i \(-3\). Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian \(x+2\) jest równa \(18\), a reszta z dzielenia przez dwumian \(x-2\) jest równa \(10\). Znajdź wyraz wolny wielomianu \(w\)."

mosdef21 pisze: ↑20 sie 2023, 01:01 Niech w będzie wielomianem trzeciego stopnia, którego jedynymi pierwiastkami są liczby \(1\) i \(-3\). Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian \(x+2\) jest równa \(18\), a reszta z dzielenia przez dwumian \(x-2\) jest równa \(10\). Znajdź wyraz wolny wielomianu \(w\)."

\(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\
\begin{cases}W(1)=0\\W(-3)=0\\W(-2)=18\\W(2)=10\end{cases}\\
\begin{cases}a+b+c+d=0\\-27a+9b-3c+d=0\\-8a+4b-2c+d=18\\8a+4b+2c+d=10\end{cases}\\
\begin{cases}a=\frac{41}{3}\\b=2\\c=-\frac{275}{3}\\d=76\end{cases}\)

Chyba z wynikiem coś nie tak bo ten wielomian miałby trzy pierwiastki a musi mieć tylko dwa. A pokaże Pani jak rozwiązać ten układ?

Albo:
Teoretycznie istnieją dwa wielomiany spełniające warunki zadania:

• \[w(x)=a(x-1)(x+3)^2\]
  Wobec \(\begin{cases}w(-2)=18\\w(2)=10\end{cases}\) mamy
  \[\begin{cases}-3a=18\\25a=10\end{cases}\So a\in\emptyset\\ \]
• \[w(x)=a(x-1)^2(x+3)\]
  Wobec \(\begin{cases}w(-2)=18\\w(2)=10\end{cases}\) mamy
  \[\begin{cases}9a=18\\5a=10\end{cases}\So a=2\]

Ostatecznie: \(w(x)=2(x-1)^2(x+3)\)

Pozdrawiam

Ja to zrobiłem podobnie tylko przeanalizowałem dla jakiego wielomianu w formie \(w_1(x)=(x-1)^2(x+3) \vee w_2=(x-1)(x+3)^2\) bez wsółczynnika przed nimi, reszta z dzielenia przez te dwa dwumiany jest dzielnikiem tych reszt pierwotnych i właśnie wyszło mnie że będzie to wielomian \(w_1\) który miał kolejno reszty 5 i 9 i żeby otrzymać teraz takie reszty jakie są podane w zadaniu pomnożyłem przez dwa i wyszło to co tobie. Ale jestem i tak ciekawy jak rozwiązać ten układ zaproponowany przez eresh

mosdef21 pisze: ↑20 sie 2023, 10:18 Chyba z wynikiem coś nie tak bo ten wielomian miałby trzy pierwiastki a musi mieć tylko dwa. A pokaże Pani jak rozwiązać ten układ?

Coś faktycznie nie tak. Powinno być:
\(\begin{cases}a=2\\b=2\\c=-10\\d=6\end{cases}\)

mosdef21 pisze: ↑20 sie 2023, 12:04 Ale jestem i tak ciekawy jak rozwiązać ten układ zaproponowany przez eresh

Metodą podstawiania

mosdef21 pisze: ↑20 sie 2023, 12:04 ... Ale jestem i tak ciekawy jak rozwiązać ten układ zaproponowany przez eresh

eresh pisze: ↑20 sie 2023, 08:30 \(\begin{cases}a+b+c+d=0\\-27a+9b-3c+d=0\\-8a+4b-2c+d=18\\8a+4b+2c+d=10\end{cases}\)

Dodając/odejmując stronami równania (iii) i (iv) i porządkując otrzymujemy: \(\begin{cases}c=-4a-2\\d=14-4b\end{cases}\).
Jeśli wstawisz te wartości do równań (i) i (ii), otrzymasz układ równań z dwiema już niewiadomymi, a ten problem na kilka sposobów umiesz rozwiązać!

Pozdrawiam