Załóżmy, że dziecko jednocześnie wyciąga dwa buty z pudła.
Oznaczmy zbór - pięć lewych butów przez:
\( L= \{ L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}, L_{5}\}.\) oraz zbiór odpowiednich pięć prawych butów przez
\( P =\{ P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}.\)
W ten sposób
\( ( L_{k}, P_{k}), \ \ k=1,2,3,4,5 \) oznacza parę butów.
Zdarzenia:
\( A \) - "buty są od jednej pary",
\( \overline{A} \) -"buty nie są od jednej pary"
Układy sprzyjające zdarzeniu
\( \overline{A}:\)
\( 0 \) butów ze zbioru
\( L \) i
\( 2 \) buty ze zbioru
\( P.\) Takich układów jest
\( {5\choose 0}\cdot {5\choose 2},\)
\( 1 \) but z
\( L \) i jeden but z
\( P \) z wyłączeniem buta od pary z
\(L.\) Takich układów jest
\( {5\choose 1}\cdot {4\choose 1} \)
\( 2 \) buty z
\( L \) i
\( 0 \) butów z
\( P.\) Takich układów jest
\( {5\choose 2}\cdot {5\choose 0}\)
Wszystkich sprzyjających układów jest:
\( |\overline{A}|= {5\choose 0}\cdot {5\choose 2}+ {5\choose 1}\cdot {4\choose 1}+{5\choose 0}\cdot {5\choose 2}\)
Wszystkich możliwych układów jest tyle, ile jest kombinacji bez powtórzeń z
\( 10 \) elementów po
\( 2,\) to jest
\( |\Omega|= {10 \choose 2} \)
Stąd
\( P(\overline{A}) = \frac{{5\choose 0}\cdot {5\choose 2}+ {5\choose 1}\cdot {4\choose 1}+{5\choose 0}\cdot {5\choose 2}}{{10 \choose 2}}. \)
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
\( P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{{5\choose 0}\cdot {5\choose 2}+ {5\choose 1}\cdot {4\choose 1}+{5\choose 0}\cdot {5\choose 2}}{{10 \choose 2}}. \)
Program R
Kod: Zaznacz cały
P = 1 -(choose(5,2)*choose(5,0)+choose(5,1)*choose(4,1)+choose(5,2)*choose(5,0))/(choose(10,2))
> P
[1] 0.1111111
Można spodziewać, że w ponad
\( 11\% \) ogólnej liczby wyników, dziecko otrzyma buty od jednej pary.
