pole z wysokości trójkąta

[inter]

Niech \(AA_1, BB_1, CC_1\) będą trzema wysokościami trójkąta \(ABC\). Pokaż że \(\dfrac{P_{AA_1BB_1CC_1}}{P_{ABC}} \le \frac{1}{4}\).

[Jerry]

Doprecyzuj, proszę, czym jest \(AA_1BB_1CC_1\)

Pozdrawiam

[janusz55]

Chyba chodzi o pole trójkąta \( P_{A_{1}B_{1}C_{1}} ?\)

[inter]

Powinno być tak

Niech \(AA_1, BB_1, CC_1\) będą trzema wysokościami trójkąta \(ABC\). Pokaż że \(\dfrac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}} \le \frac{1}{4}\).

[Jerry]

I kolejne, nie upublicznione, notatki z mojego sprzątanego biurka...

W przypadku

• większości trójkątów rozwartokątnych pole trójkąta spodkowego nie spełnia warunków zadania,
• trójkąta prostokątnego - trójkąt spodkowy degeneruje się do odcinka.

Ostrokątny trójkąt \(ABC\) połóżmy w układzie współrzędnych tak, że \(A(-a,0),\ B(b,0),\ C(0,c)\), gdzie \(a,b,c\in\rr_+\) oraz \(c>\sqrt{ab}\). Wtedy:

1. \(P_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot(a+b)\cdot c\)
2. \(\qquad C'(0,0)\)
3. \(\begin{cases}\vec{BC}=[-b,c]\\A'(b-kb,kc)\wedge k\in(0;1)\\\vec{AA'}=[b-kb+a,kc]\\\vec{AA'}\ \perp \vec{BC}\end{cases}\So\left( -b(b-kb+a)c^2k=0\iff k={ab+b^2\over b^2+c^2}\right)\\
   \qquad A'\left({bc^2-ab^2\over b^2+c^2}, {abc+b^2c\over b^2+c^2}\right)\)
4. Analogicznie
   \(\qquad B'\left(-{ac^2-a^2b\over a^2+c^2}, {abc+a^2c\over a^2+c^2}\right)\)
5. \(\begin{cases}\vec{C'A'}=\left[{bc^2-ab^2\over b^2+c^2}, {abc+b^2c\over b^2+c^2}\right]\\
   \vec{C'B'}=\left[-{ac^2-a^2b\over a^2+c^2}, {abc+a^2c\over a^2+c^2}\right]\end{cases}\So P_{\Delta A'B'C'}={1\over2}\cdot\left|{bc^2-ab^2\over b^2+c^2}\cdot{abc+a^2c\over a^2+c^2}+{ac^2-a^2b\over a^2+c^2}\cdot{abc+b^2c\over b^2+c^2}\right|=\ldots=\\ \qquad={abc(c^2-ab)(a+b)\over(b^2+c^2)(a^2+c^2)}=\frac{2ab(c^2-ab)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)}\cdot P_{\Delta ABC} \)

Pozostaje wykazać, dla \(a,b,c\in\rr_+\) oraz \(c>\sqrt{ab}\), prawdziwość
\[\frac{2ab(c^2-ab)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)}\le{1\over4}\]
ale to teoria liczb i moje zaangażowanie osłabło...

Pozdrawiam
PS. Łatwo można zauważyć, że równość zachodzi dla \(c=\sqrt3a=\sqrt3b\), czyli dla trójkąta równobocznego

[Jerry]

Nikt nie kontynuował... a mnie dziś się przyśniło:

Pozostaje wykazać, dla \(a,b,c\in\rr_+\) oraz \(c>\sqrt{ab}\), prawdziwość
\[\frac{2ab(c^2-ab)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)}\le{1\over4}\]

Nierówność ta jest równoważna
\[\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{xy-1}\ge8,\ \text{gdzie }\begin{cases}x={c\over a}>0\\y={c\over b}>0\\xy>1\end{cases}\]
To idzie z badania funkcji
\(f(x,y)=\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{xy-1}\ : \ f'_x=f'_y=0\iff x=y=\sqrt3\)
... i pozostaje sformalizować!

Pozdrawiam