Cześć, chciałem Was prosić o pomoc. Od dłuższego czasu szukam już sposobu/schematu na rozwiązywanie zadania o treści:
"Wyznacz współrzędne wektora (x,y,z,a,b) = (1,2,3,4,5) w wybranej bazie przestrzeni rozwiązań układu równań: x + y + z - a - b = 0 oraz x + y - z - a - b = 0. Skorzystaj z Gaussa."
(w tej treści wstawiłem losowe liczby, więc nie jest to żaden konkretny przykład)
Szukałem już w takich źródłach jak etrapez, ajkamat, matemaks, youtube, khan academy i znalazłem bardzo dużo materiałów ogólnie o wektorach. Ale nie znalazłem dosłownie ani jednego źródła które pokazywałoby rozwiązanie, lub jak w ogóle podejść do takiego zadania jak podałem powyżej.
Czy może ktoś z Was mógłby mnie poratować?
Wyznaczyć współrzędne wektora (...) w wybranej bazie przestrzeni rozwiązań układu równań. Jak rozwiązywać takie zadania?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1564
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Wyznaczyć współrzędne wektora (...) w wybranej bazie przestrzeni rozwiązań układu równań. Jak rozwiązywać takie zada
Układ równań przedstawiamy w postaci macierzy rozszerzonej:
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
Rozwiązujemy układ równań, stosując metodę przekształceń elementarnych Gaussa:
Do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez \( -1 \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Wiersz drugi mnożymy przez \( -\frac{1}{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Z drugiego wiersza tablicy odczytujemy \( z = 0 \) i wstawiając tą wartość do wiersza pierwszego otrzymujemy
\( x+y + 0 - a - b = 0, \ \ x = a, \ y = b. \)
Rozwiązaniem układu równań jest wektor
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} \)
Zapisujemy ten wektor w bazie zero - jedynkowej:
\( \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + a \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +b\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.\)
Znajdujemy współrzędne danego wektora bazie \( \mathcal{B}:\)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ a \\ b \end{bmatrix} =1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +5\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}. \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
Rozwiązujemy układ równań, stosując metodę przekształceń elementarnych Gaussa:
Do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez \( -1 \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Wiersz drugi mnożymy przez \( -\frac{1}{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Z drugiego wiersza tablicy odczytujemy \( z = 0 \) i wstawiając tą wartość do wiersza pierwszego otrzymujemy
\( x+y + 0 - a - b = 0, \ \ x = a, \ y = b. \)
Rozwiązaniem układu równań jest wektor
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} \)
Zapisujemy ten wektor w bazie zero - jedynkowej:
\( \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + a \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +b\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.\)
Znajdujemy współrzędne danego wektora bazie \( \mathcal{B}:\)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ a \\ b \end{bmatrix} =1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +5\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}. \)