Określic przedział zbieżności szeregu
\( \sum_{n=1 }^{ \infty } 4^nx^n\)
Przedział zbieżności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
lolipop692
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Przedział zbieżności
\( \sum_{n=1}^{\infty} 4^{n}x^{n}\)
Na podstawie twierdzenia Cauchy- Hadamarda:
\( \left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{4^{n+1}}{4^{n}} = 4 \)
Promień zbieżności szeregu
\( R = \frac{1}{4}.\)
Badamy zbieżność w końcach przedziału zbieżności:
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{4}{4}\right)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \) - szereg rozbieżny na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{4}\right)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (1)^{n} \) -szereg rozbieżny na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Przedział zbieżności szeregu: \( \left( -\frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{4} \right).\)
Na podstawie twierdzenia Cauchy- Hadamarda:
\( \left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{4^{n+1}}{4^{n}} = 4 \)
Promień zbieżności szeregu
\( R = \frac{1}{4}.\)
Badamy zbieżność w końcach przedziału zbieżności:
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{4}{4}\right)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \) - szereg rozbieżny na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{4}\right)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (1)^{n} \) -szereg rozbieżny na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Przedział zbieżności szeregu: \( \left( -\frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{4} \right).\)