Oblicz całkę

[LuckyLuck]

Oblicz całkę \(\int_{}^{} \int_{D}^{} (y^2 +4x)dxdy, D: x= \sqrt{y} \wedge y=4\)

[janusz55]

Rysunek fragmentu wykresu funkcji \( x = \sqrt{y} \) dla \( y = 0, \ \ y= 1, \ \ y=4. \)

Obszar normalny względem osi \( Oy: \ \ D = \{ (x,y): \sqrt{y} \leq x \leq 2, \ \ 0 \leq y \leq 4\}.\)

\( I = \iint_{(D)} (y^2 + 4x)dxdy = \int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^2 (y^2 + 4x)dx = \ \ ...\)

Odpowiedź: \( I =\frac{464}{21}.\)

[janusz55]

\( I = \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{y}}^2 (y^2 + 4x)dx dy.\)

[kerajs]

Moim zdaniem tak zdefiniowany obszar

\(D: x= \sqrt{y} \wedge y=4\)

jest punktem (2,4).

Nawet gdyby się uprzeć i sugerować że to obszar ograniczony fragmentem paraboli i prostą to i tak brakuje trzeciej krzywej która by go domknęła.

Obszar po którym liczy janusz55 jest ograniczony krzywą \(x= \sqrt{y} \) i prostymi y=0 oraz x=2 , co jest zupełnie innym zadaniem.

[janusz55]

Tak. obszar \( D \) zawarty między parabolą o równaniu \( x = \sqrt{y}, \) a prostymi \( y= 0, y = 4, x=2. \)

\( I = \int_{0}^{2}\int_{x^2}^{4} (y^2 +4x)dy dx = \ \ ... \)

[kerajs]

Tak. obszar \( D \) zawarty między parabolą o równaniu \( x = \sqrt{y}, \) a prostymi \( y= 0, y = 4, x=2. \)

Dla tego obszaru y=4 jest zbędne. Powoduje to że nie istnieje obszar ograniczony dokładnie tymi czterema liniami.
Co do pierwotnego zadania , to y=0 oraz y=2 wziąłeś z sufitu, a nie z jego treści.