Ciągi

[Taotao2]

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
a) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= \frac{1}{n(n+1)} \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)

b) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)

c) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)

[Jerry]

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
a) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= \frac{1}{n(n+1)} \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)

To nie jest prawdą! \(a_n={1\over n(n-1)}\) dla \(n\in\nn_+\setminus\{1\}\)

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
b) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)

\(a_{n+1}=(-1)^{n+1}\), bo \(a_{n+1}=-(-1)^n=(-1)^1\cdot(-1)^n=\ldots\)

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie:
c) \( \begin{cases}a_1\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)

\(a_{n+1}=2^{n+1}\), bo \(a_{n+1}=2\cdot2^n=\ldots\)

Pozdrawiam

[Taotao2]

Przepraszam niestety nie wpisałem że \(a_1=1\) w podpunktach a) i b) zaś w c) \(a_1=2\)

[Jerry]

... nie wpisałem że \(a_1=1\) w podpunktach a) i b) ...

No to kolejny kiks...

b) ciąg \(a_n=(-1)^n\) dla \(n\in\nn_+\setminus\{1\}\)

Pozdrawiam

[Taotao2]

Teraz jest już na pewno wszystko dobrze
a) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= a_n-\frac{1}{n(n+1)} \end{cases}, n\geq 1 \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)

b) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)

c) \( \begin{cases}a_1=2\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)

[eresh]

Teraz jest już na pewno wszystko dobrze
a) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= a_n-\frac{1}{n(n+1)} \end{cases}, n\geq 1 \) ma wzór ogólny \(a_n= \frac{1}{n} \)

\(n=1:\;\;a_1=\frac{1}{1}=1\)
Z:\(a_n=\frac{1}{n}\)
T: \(a_{n+1}=\frac{1}{n+1}
\)

\(a_{n+1}=a_n-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}\)

[eresh]

b) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)

Coś chyba nadal jest nie tak:
\(a_1=(-1)^{1}=-1\)

[eresh]

c) \( \begin{cases}a_1=2\\ a_{n+1}= 2a_n,\ n\geq 1 \end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= 2^n \)

\(a_1=2^1=2\\\)
Z: \(a_n=2^n\)
T: \(a_{n+1}=2^{n+1}
\)
\(a_{n+1}=2a_n=2\cdot 2^n=2^{n+1}\)

[Taotao2]

b) \( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}= -a_n,\ n\geq 1\end{cases} \) ma wzór ogólny \(a_n= (-1)^n\)

Coś chyba nadal jest nie tak:
\(a_1=(-1)^{1}=-1\)

Wszystko akurat jest w porządku nie zdarzył mnie się tutaj błąd.