Układ równań różniczkowych

[janusz55]

Na forum pojawiło się zadanie:

Proszę znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych:

\( \vec{y'} = \left[ \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 2\end{matrix} \right]\cdot \vec{y} \)

\( \left[ \begin{matrix} y'_{1} \\ y'_{2} \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 2\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} y'_{1} = 3y_{1}-2y_{2} \\ y'_{2} = -y_{1}+2y_{2} \end{matrix}\right]. \)

Rozwiązanie

Jest to układ jednorodny równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach (liniowy).

Rozwiązaniem ogólnym układu

\( \frac{d}{dx} \left[ \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}\right] = A \left[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2}\end{matrix} \right] \)

jest trajektoria:

\( \left[ \begin{matrix} y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix} \right] = e^{tA} \left[ \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} \right] \)

Aby znaleźć funkcje eksponent od macierzy \( A, \ \ e^{tA} \) musimy przeprowadzić diagonalizację macierzy \( A.\)

W tym celu obliczamy pierwiastki wielomianu charakterystycznego macierzy \( A :\)

\( \det(A -\lambda I) = \det \left[ \begin{matrix} 3-\lambda & -2 \\ -1 & 2-\lambda \end{matrix} \right] = (3-\lambda)(2-\lambda)-2 = \lambda^2 -5\lambda -4 = (\lambda - 4)(\lambda -1) =0.\)

Macierz \( A \) ma dwie różne wartości własne: \( \lambda_{1} = 4, \ \ \lambda_{2} = 1.\)

Znajdujemy wektory własne macierzy \( A\)

\( \lambda_{1}=4: \)

\( \ker( A-4I) = \ker\left[\begin{matrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] = span \left\{ \left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right]\right\} \)

\( \lambda_{2} = 1:\)

\( \ker( A-1I) = \ker\left[\begin{matrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] = span \left\{\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right]\right\} \)

Zbiór \( \left\{ \left[\begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right] , \left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \right\} \) jest bazą diagonalizującą.

Macierzą diagonalizującą jest macierz

\( P = \left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix} \right]. \)

Macierzą odwrotną do macierzy diagonalizującej jest macierz:

\( P^{-1} = \left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix} \right]^{-1} = \left[\begin{matrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{matrix} \right] \)

Stąd macierz diagonalna:

\( D = P^{-1}\cdot A \cdot P = \left[\begin{matrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & 2\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix} \right]= \left[\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

Funkcja eksponent macierzy \( A \)

\( e^{tA} = \left[\begin{matrix} e^{4 t} & 0 \\ 0 & e^{t} \end{matrix} \right] \)

Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego równań (RORJ):

\( \vec{y} = \left[ \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix} \right] \cdot\left[\begin{matrix} e^{4 t} & 0 \\ 0 & e^{t} \end{matrix} \right] \cdot \left[\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} c_{1}e^{4t} \\ c_{2}e^{t} \end{matrix} \right]= \left[\begin{matrix} -2c_{1}\cdot e^{4t} +c_{2}\cdot e^{t} \\ c_{1}\cdot e^{4t} + c_{2}\cdot e^{t} \end{matrix} \right] \)

[Shoutheasken]

Dzięki wielkie!!