forum.zadania.info

Wykaż że ślad m. potęgi macierzy jest sumą m. potęg wartości własnych

\(\mathrm{tr} \left(A^m \right) = \sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}^m\)

Jakiś czas temu zobaczyłem u Mizerskiego wzór na współczynniki wielomianu charakterystycznego
jednak wzór z jego tablic był błędny
Poprawiłem ten wzór korzystając z funkcyj symetrycznych oraz przyjmując prawdziwość powyższego twierdzenia
Przydałoby się jednak wykazać prawdziwość powyższego twierdzenia

Dowód tej równości wynika z Twierdzenia Schura o sprowadzeniu macierzy posiadającej \( n \) różnych wartości własnych \( \lambda_{1}, \lambda_{2},..., \lambda_{n} \) do postaci trójkątnej górnej.

A jak taki dowód by wyglądał ?
Ja trochę zastanawiałem się czy nie można by coś indukcyjnie wykombinować
bo to by mi wystarczyło i chyba byłoby najłatwiejsze
(Oczywiście gdyby się dało taką indukcję ze względu na m przeprowadzić)

W analizie numerycznej macierzy - twierdzenie Schura ma kilka różnych wersji. Najbardziej odpowiednią do dowodu tego twierdzenia jest następująca wersja o unitarnej triangulizacji:

" Niech dana będzie macierz \( A \in \mathcal{M}_{n} \) z wartościami własnymi \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, ... \lambda_{n}.\) Wtedy istnieje unitarna macierz \( U\in \mathcal{M}_{n}, \) taka, że \( U^{*}AU = T= [t_{ij}] \) jest macierzą trójkątno-górną z elementami na głównej diagonali \( t_{ii} = \lambda_{i}, \ \ i =1,2,...,n." \)

Wniosek: każda kwadratowa macierz \( A \) jest unitarnie równoważna macierzy trójkątno-górnej, która na przekątnej głównej ma wartości własne macierzy \( A.\)

Następnie proszę przeprowadzić indukcję, ze względu na potegą \( m, \ \ m\in \nn \) macierzy \( A.\)