przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 173
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Post autor: inter »

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego przekrój jest pięciokątem foremnym o boku \(a\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Post autor: Jerry »

W skrócie:
  1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku (na który wreszcie znalazłem czas):
    001.jpg
  2. Z pięciokąta foremnego:
    • \(|TN|=c=a\sin36^\circ\)
    • \(|TM|=d=a\cos36^\circ\)
    • \(|GT|=b={a\over2}\ctg18^\circ-c=\frac{\ctg18^\circ-2\sin36^\circ}{2}a\)
  3. \(|BQ|={a\over2}+b\cos\alpha=|QC|=|QD|\)
  4. \(\begin{cases}|TQ|=b\sin\alpha\\ |ME|=({a\over2}+b\cos\alpha-d)\tg\beta\\ |TQ|=|ME|\end{cases}\So\tg\beta={2b\sin\alpha\over a+2b\cos\alpha-2d}\)
  5. \((b+c)\sin\alpha=|NF|=\left({a\over2}+b\cos\alpha-c\cos\alpha\right)\cdot\tg\beta\\
    (b+c)\sin\alpha=\left({a\over2}+b\cos\alpha-c\cos\alpha\right)\cdot{2b\sin\alpha\over a+2b\cos\alpha-2d}\\
    \ldots\\ \cos\alpha={2bd+2cd-ac\over 4bc}=\ldots\)
Pozostaje wstawić wartości z 1., doliczyć (zabrakło mi samozaparcia), wyznaczyć \(\sin\alpha,\ \tg\beta\) i ostatecznie
\[V_O={1\over3}\cdot 4\cdot{1\over2}\cdot|BQ|^2\cdot|BQ|\cdot\tg\beta={2\over3}\cdot\left({a\over2}+b\cos\alpha\right)^3\cdot\tg\beta=\ldots\]
Pozdrawiam
PS
\(\alpha\approx32^\circ,\ \tg\beta\approx1,009\\V_O\approx1,507a^3\)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.