kąt w trójkącie

[attec18]

Na dwusiecznej \(AL\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt K taki, że \(\angle BKL= \angle KBL=30^o\). Proste \(AB\) i \(CK\) przecinają się w punkcie M, proste \(AC\) i \(BK\) przecinają się w punkcie N. Wyznacz miarę kąta \(AMN\).

[Jerry]

Zrobiłem schludne rysunki obu przypadków:
\(1^\circ\)

\(2^\circ\)

i doszedłem do wniosku*, że
\(1^\circ\ \overline{NB}\) zawiera się w dwusiecznej \(\angle MNA\),
\(2^\circ\ \overline{CP}\) zawiera się w dwusiecznej \(\angle MCN\).

Korzystając z faktu:

\(\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\\{\alpha\over2}+{\beta\over2}+\delta=180^\circ\end{cases}\So\gamma=2\delta-180^\circ\)

mamy:
\(1^\circ\ |\angle AMN|=2\cdot|\angle AKN|-180^\circ=2\cdot150^\circ-180^\circ=120^\circ\\
2^\circ\ |\angle AMN|=|\angle AMC|=2\cdot|\angle ALC|-180^\circ=2\cdot120^\circ-180^\circ=60^\circ\)
Pozdrawiam
_____________
*) Analizowałem bilans kątów oraz proporcje wynikające z tw. o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego, ale... zabrakło mi cierpliwości/spostrzegawczości, żeby ten wniosek wykazać