Wyznacz wszystkie możliwe trójkąty.

[inter]

Trójkąt ABC ma środek ciężkości \((0,0)\) i \(AB=AC\). Punkt B leży na prostej \(y=−2\), a punkt C na
prostej \(2x+y+2=0.\) Odległość punktu A od prostej \(x+y−6=0\) równa się \(\sqrt{2}\) . Wyznacz wszystkie możliwe trójkąty.

[Jerry]

W skrócie, bo rachunki są rozbudowane:

Odległość punktu A od prostej \(x+y−6=0\) równa się \(\sqrt{2}\)

\(A: \dfrac{|x+y−6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt2\\A(a,8-a)\vee A(a,4-a)\)

Punkt B leży na prostej \(y=−2\)

\(B(b,-2)\)

punkt C na prostej \(2x+y+2=0.\)

\(C(c,-2-2c)\)

Trójkąt ABC ma środek ciężkości \((0,0)\)

\(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=0\wedge\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=0\\ \begin{cases}A(4-2c,4+2c)\\ B(-4+c,-2)\\ C(c,-2-2c)\end{cases}\vee\begin{cases}A(-2c,4+2c)\\ B(c,-2)\\ C(c,-2-2c)\end{cases}\)

\(AB=AC\).

\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}
\\(c=-2-2\sqrt2\vee c=-2+2\sqrt2)\vee(c=0\vee c=-2)\)

Wyznacz wszystkie możliwe trójkąty.

Po weryfikacji istnienia trójkąta (\(c=0\So B\equiv C\)):
\[\begin{cases}A(8+4\sqrt2,-4\sqrt2)\\ B(-6-2\sqrt2,-2)\\ C(-2-2\sqrt2,2+4\sqrt2)\end{cases}\vee\begin{cases}A(8-4\sqrt2,4\sqrt2)\\ B(-6+2\sqrt2,-2)\\ C(-2+2\sqrt2,2-4\sqrt2)\end{cases}\vee\begin{cases}A(4,0)\\ B(-2,-2)\\ C(-2,2)\end{cases}\]
Pozdrawiam

[janusz55]

Współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC

\( \left( \frac{1}{3}\left(x_{A}+x_{B} + x_{C}\right), \ \ \frac{1}{3}\left(y_{A}+y_{B} + y_{C}\right) \right) = (0, 0).\)

Stąd

\( \begin{cases} x_{A}+x_{B} +x_{C} = 0 \\ y_{A}+y_{B} +y_{C} = 0 \end{cases} (1) \)

Odległość punktu \( A \) wierzchołka trójkąta \( A(x_{A}, y_{A})\) od prostej \( x -y -6 = 0 \)

\( \frac{|x_{A} -y_{A} -6|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}. \)

Stąd

\( x_{A}-y_{A} -6 = -2 \) lub \( x_{A} -y_{A} -6 = 2 \)

\( x_{A} +y_{A} = 4 \) lub \( x_{A}+y_{A} = 8 \)

Współrzędne wierzchołków trójkąta ABC:

\( A = ( x_{A}, \ \ 4-x_{A}), \ \ B= (x_{B}, \ \ -2), \ \ C = (x_{C}, \ \ -2x_{C}-2) \)

lub

\( A = (x_{A}, \ \ 8-x_{A}), \ \ B = (x_{B},\ \ -2), \ \ C = (x_{c}, \ \ -2x_{c} -2). \)

Korzystając z układu równań \( (1), \) wyrażamy współrzędne wierzchołków trójkąta \( ABC \) względem pojedyńczej współrzędnej na przykład \( x_{c}. \)

W tym celu rozwiązujemy układy równań:

\( I \begin{cases} x_{A}+x_{B} + x_{C} = 0 \\ 4-x_{A} -2 -2x_{C} -2 = 0 \end{cases} \)

\( II \begin{cases} x_{A}+x_{B} +x_{C} =0 \\ 8 -x_{A} -2 -2x_{C}-2 = 0 \end{cases} \)

Przekształcając równoważnie

\( I \begin{cases} x_{A}+x_{B} + x_{C} = 0 \\ -x_{A} -2x_{C} = 0 \end{cases} \)

\( II \begin{cases} x_{A}+x_{B} +x_{C} =0 \\ -x_{A} -2x_{C} +4 = 0 \end{cases} \)

\( I \begin{cases} x_{A}+x_{B} + x_{C} = 0 \\ x_{A} = -2x_{C} \end{cases} \)

\( II \begin{cases} -2x_{C} +4 +x_{B} +x_{C} =0 \\ x_{A} = -2x_{C}+ 4 \end{cases} \)

\( I \begin{cases} -2x_{C}+x_{B} + x_{C} = 0 \\ x_{A} = -2x_{C} \end{cases} \)

\( II \begin{cases} -2x_{C} +4 +x_{B} +x_{C} =0 \\ x_{A} = -2x_{C}+ 4 \end{cases} \)

\( I \begin{cases} x_{B} = x_{C} \\ x_{A} = -2x_{C} \end{cases} \)

\( II \begin{cases} -x_{B} = x_{C}-4 \\ x_{A} = -2x_{C}+ 4 \end{cases} \)

Otrzymaliśmy współrzędne wierzchołków trójkąta \( ABC \) wyrażone w zależności od \( x_{C}.\)

\( I \ \ A = ( -2x_{C}, \ \ 2x_{C}+4 ), \ \ B = (x_{C},\ \ -2), \ \ C = (x_{C}, \ \ -2x_{C} -2) \)

lub

\( II \ \ A = (-2x_{C} + 4, \ \ 2x_{C}+4,) \ \ B = ( x_{C}-4, \ \ -2), \ \ C = (x_{C}, \ \ -2x_{C} -2) \)

Obliczamy możliwe wartości współrzędnej \( x_{C},\) wykorzystując warunek równości długości boków \( \overline{AB} \) i \( \overline{AC} \) trójkąta ABC.

\( |\overline{AB}| = |\overline{AC}| \equiv |\overline{AB}|^2 = |\overline{AC}|^2 \)

\( I \ \ (3x_{C})^2 +(-6 -2x_{C})^2 = (3x_{C})^2 + (-4x_{C}-6)^2 \)

lub

\( II \ \ (3x_{C}-8)^2 + (-2x_{C}-6)^2 = (3x_{C}-4)^2 + (-4x_{C} -6)^2 \)

Z wariantu I

\( 4x^2_{C} + 24 x_{C} + 36 = 16x^2_{C} +48x_{C} +36\)

\( 12x^2_{C} +24x_{C} = 0 \)

\( 12x_{C}\cdot ( x_{C} +2) = 0 \)

\( x_{C} = -2 \) lub \( x_{C}= 0.\)

Z wariantu II :

\( 9x^2_{C} -48x_{C} +64 +4x^2_{C} +24x_{C} +36 = 9x^2_{C} -24x_{C} +16 +16x^2_{C} +48x_{C}+36 =0 \)

\( 12x^2_{C} +48x_{C} -48 = 12(x^2_{C} +4x_{C} -4) = 0 \)

\( x_{C} = -2-2\sqrt{2} \) lub \( x_{C} = -2 +2\sqrt{2} \)

Otrzymaliśmy możliwe wartości "kandydatów" na współrzędne wierzchołków trójkąta \( ABC.\)

Z wariantu I

\( A=( 4, \ \ 0), \ \ B= (-2, \ \ -2), \ \ C = ( -2, \ \ 2) \ \ (2) \)

lub

\( A = (0, \ \ 4), \ \ B= (0, \ \ -2), \ \ C = (0, \ \ -2) \) - nie spełniają warunku trójkąta.

Z wariantu II

\( A = (4\sqrt{2}+8,\ \ -4\sqrt{2}+4), \ \ B = (-2\sqrt{2}-6, \ \ -2), \ \ C = (-2\sqrt{2}-2, \ \ 4\sqrt{2}+2) \ \ (3) \)

lub

\( A = (-4\sqrt{2}+8, \ \ 4\sqrt{2}), \ \ B = ( 2\sqrt{2}-6, \ \ -2), \ \ C = ( 2\sqrt{2}-2, \ \ -4\sqrt{2}+2) \ \ (4) \)

Otrzymaliśmy trzy możliwe trójkąty o współrzędnych wierzchołków \( (2), (3), (4).\)