forum.zadania.info

Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{m+1}{2}x^{2}+mx, x\in\rr\). Wyznacz w zależności od parametru m punkty, w których funkcja osiąga minimum.

\(f'(x)= x^{2}-(m+1)x+m\)
\( \Delta =(m-1)^{2}\)
Na tym się zatrzymałem

\(f'(x)= x^{2}-(m+1)x+m=x^2-mx-x+m=x(x-m)-1\cdot(x-m)=(x-m)(x-1)\)

Pozdrawiam

Co zrobić z tym faktem dalej? Możesz pokazać dalsze rozwiązanie?

Napomknę, że \(f'(x)=(m-x)(1-x)\), podziałaj z wyróżnikiem pochodnej który wynosi \( \Delta _{f'}=(m-1)^2\).

Pozdrawiam

Luiza2 pisze: ↑25 kwie 2023, 12:15 Co zrobić z tym faktem dalej? Możesz pokazać dalsze rozwiązanie?

Badając znak pochodnej:

1. Dla \(m=1\) pochodna jest nieujemna dla wszystkich argumentów i \(f\nearrow \rr\),
2. dla \(m<1\) mamy: \(f\nearrow (-\infty; m]\wedge f\searrow[m; 1]\wedge f\nearrow[1;+\infty)\), zatem \(\begin{cases}x=1\\ y_\min=f(1)=\ldots\end{cases}\)
3. dla \(m>1\) mamy: \(f\nearrow (-\infty; 1]\wedge f\searrow[1; m]\wedge f\nearrow[m;+\infty)\), zatem \(\begin{cases}x=m\\ y_\min=f(m)=\ldots\end{cases}\)

Pozdrawiam