forum.zadania.info

Sprawdź czy istnieje kąt \(\alpha \) spełniający warunek \(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha =5\)

\(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha =5\quad|:\sqrt{13}\\
\sin\alpha\cdot{2\over\sqrt{13}}-\cos\alpha\cdot{3\over\sqrt{13}}={5\over\sqrt{13}}\)
dla kąta \(\beta\), takiego że \(\tg\beta={3\over2}\) mamy
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\)
zatem ...

Pozdrawiam

Dlaczego dzielimy przez \(\sqrt{13}\) ?

Dziękuję za pomoc ale trochę tego rozwiązania nie rozumiem, mógłbyś mi wyjaśnić?

peresbmw pisze: ↑19 kwie 2023, 10:39 Sprawdź czy istnieje kąt \(\alpha \) spełniający warunek \(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha =5\)

\(2\sin\alpha-3\cos\alpha=5\\
2\sin\alpha=5+3\cos\alpha\\
\sin\alpha=\frac{5}{2}+1,5\cos\alpha\)

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
(2,5+1,5\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\\
6,25+7,5\cos\alpha+2,25\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
3,25\cos^2\alpha+7,5\cos\alpha+5,25=0\\
\cos\alpha=t, t\in [-1,1]\\
3,25t^2+7,5t+5,25=0\\
\Delta<0\)

Dzięki, teraz rozumiem czyli to oznacza że taki kąt nie istnieje?

peresbmw pisze: ↑19 kwie 2023, 11:38 Dzięki, teraz rozumiem czyli to oznacza że taki kąt nie istnieje?

dokładnie

Jerry pisze: ↑19 kwie 2023, 10:49 \(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha =5\quad|:\sqrt{13}\\
\sin\alpha\cdot{2\over\sqrt{13}}-\cos\alpha\cdot{3\over\sqrt{13}}={5\over\sqrt{13}}\)
dla kąta \(\beta\), takiego że \(\tg\beta={3\over2}\) mamy
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\)
zatem ...

Pozdrawiam

Po co tutaj to dzielenie przez \( \sqrt{13} \), co to daje?
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\), jak udowodnić, że to równanie nie ma rozwiązań?
To też mógłbyś lepiej wyjaśnić?
Dla kąta \( (\beta\), takiego że \(\tg\beta={3\over2}\) mamy
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\)
zatem ...\)

Luiza2 pisze: ↑19 kwie 2023, 20:04

Po co tutaj to dzielenie przez \( \sqrt{13} \), co to daje?
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\), jak udowodnić, że to równanie nie ma rozwiązań?

nie ma rozwiązań, bo sinus nie może być większy niż 1

eresh pisze: ↑19 kwie 2023, 11:36

peresbmw pisze: ↑19 kwie 2023, 10:39

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
(2,5+1,5\cos\alpha)^2+3,25\cos^2\alpha=1\\\)

A to skąd się bierze?

Luiza2 pisze: ↑19 kwie 2023, 20:14

eresh pisze: ↑19 kwie 2023, 11:36

peresbmw pisze: ↑19 kwie 2023, 10:39

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
(2,5+1,5\cos\alpha)^2+3,25\cos^2\alpha=1\\\)

A to zkąd się bierze?

Chyba skąd?
To jest jedynka trygonometryczna

Nie powinno być \(...+2,25 \cos ^2 \alpha\)?

Luiza2 pisze: ↑19 kwie 2023, 20:23 Nie powinno być \(...+2,25 \cos ^2 \alpha\)?

już poprawiłam, dzięki

peresbmw pisze: ↑19 kwie 2023, 10:53 Dlaczego dzielimy przez \(\sqrt{13}\) ?

Analizując, dla dodatnich wartości współczynników \(A,B\), rozwiązanie równania
\[A\sin x\pm B\cos x=C\]
dzielimy równanie stronami przez \(\sqrt{A^2+B^2}\), uzyskując wartości funkcji trygonometrycznych
\[\bigvee\limits_{\beta\in(0;{\pi\over2})}\begin{cases}\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cos\beta\\\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin\beta\end{cases}\]
(łatwo sprawdzić prawdziwość wielką jedynką trygonometryczną). Równanie przyjmie postać
\[\sin(x\pm \beta)=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Jeżeli \(\left|\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|>1\) - równanie (ze względu na zbiór wartości funkcji sinus) jest sprzeczne, w pozostałym przypadku - możemy kontynuować rozwiązanie.

Pozdrawiam