Ograniczoność ciągu

[Doni67]

Uzasadnij, że ciąg \(a_n\) jest ograniczony:
a) \(\begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}=2^{-a_n}\end{cases}\)

b) \( \begin{cases}a_1=100\\ a_{n+1}=\sin^2 a_n+10 \end{cases} \)

[Jerry]

b) \( \begin{cases}a_1=100\\ a_{n+1}=\sin^2 a_n+10 \end{cases} \)

\(\bigwedge\limits_{n>1}0+10\le \sin^2 a_n+10\le 1+10\)
wobec \(a_1=100\) mamy
\(\bigwedge\limits_{n\in\nn_+}10\le a_n\le 100\)
co determinuje ograniczoność ciągu \((a_n)\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Uzasadnij, że ciąg \(a_n\) jest ograniczony:
a) \(\begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}=2^{-a_n}\end{cases}\)

Hipoteza: \({1\over2}\le a_n\le 1\)
i kolejno
\(-{1\over2}\ge -a_n\ge -1\\
2^{-{1\over2}}\ge 2^{-a_n}\ge 2^{-1}\\
1\ge{\sqrt2\over2}\ge a_{n+1}\ge{1\over2}\)
i wnioski z zasady indukcji ...

Pozdrawiam

[Doni67]

Możesz lepiej rozpisać i wyjaśnić wnioski wynikające z zasady indukcji?

[Jerry]

Nie wiem, jak pisze to Twój ćwiczeniowiec... Ja bym napisał:
Ponieważ

• \(a_1=1\in[{1\over2};1]\),
• z założonej, dla \(n\ge1\), prawdziwości \(a_n\in[{1\over2};1]\) wywnioskowaliśmy prawdziwość \(a_{n+1}\in[{1\over2};1]\),

to na mocy zasady indukcji matematycznej możemy stwierdzić, że \(\bigwedge\limits_{n\in\nn_+} a_n\in[{1\over2};1]\)

Pozdrawiam