Rozwiąż równanie w przedziale \([0,2\pi]\):
\(\sin x + \cos x = \frac{\cos^2x-\sin^2x}{1-2\sin x\cos x}\)
Równanie trygonometryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3532
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1938 razy
Re: Równanie trygonometryczne
Dla \(\sin2x\ne1\) równanie jest równoważne
\(\sin x + \cos x = \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x-\sin x)^2}\\
\sin x + \cos x =\frac{ \cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}\\
\cos x + \sin x=0\vee \cos x - \sin x=1\\
\tg x=-1\vee \sin(x-{\pi\over4})=-{\sqrt2\over2}\)
skąd blisko do odpowiedzi...
Pozdrawiam
[edited] poprawa rozwiązania
Icanseepeace: dziękuję za sygnalizację błędu !
\(\sin x + \cos x = \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x-\sin x)^2}\\
\sin x + \cos x =\frac{ \cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}\\
\cos x + \sin x=0\vee \cos x - \sin x=1\\
\tg x=-1\vee \sin(x-{\pi\over4})=-{\sqrt2\over2}\)
skąd blisko do odpowiedzi...
Pozdrawiam
[edited] poprawa rozwiązania
Icanseepeace: dziękuję za sygnalizację błędu !
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Równanie trygonometryczne
Mamy rozwiązać równanie:
\( \sin (x) + \cos (x) = \frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{1-2\sin (x)\cos (x)}, \ \ x\in [0, 2\pi].\)
\( x\notin \left \{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right\}.\)
\( (\cos(x) -\sin(x))^2(\sin(x) +\cos(x)) = (\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)) \)
\( (\cos(x) -\sin(x))^2(\sin(x) +\cos(x)) - (\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)) = 0 \)
\( (\cos(x) -\sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) [\cos(x) -\sin(x) -1] = 0 \)
\( [\cos^2(x)-\sin^2(x)][\cos(x) -\sin(x) -1] = 0 \)
\( \cos^2(x) -\sin^2(x) = 0 \vee \cos(x) -\sin(x) -1 = 0 \)
\( \cos(2x) = 0 \vee \sin(x) - \cos(x) +1 = 0 \)
\( \cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \vee \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
\( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ \ k\in \zz \vee \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x) -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x)= -\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
\( \sin\left(x -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) \)
\( x -\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \vee x- \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi }{4} +2k\pi, \ \ k\in \zz \)
\( x = 2k\pi \vee x_{2} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \ \ k\in \zz.\)
\( x \in \left\{ 0, \ \ \frac{3\pi}{2} \ \ 2\pi \right \}. \)
\( \sin (x) + \cos (x) = \frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{1-2\sin (x)\cos (x)}, \ \ x\in [0, 2\pi].\)
\( x\notin \left \{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right\}.\)
\( (\cos(x) -\sin(x))^2(\sin(x) +\cos(x)) = (\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)) \)
\( (\cos(x) -\sin(x))^2(\sin(x) +\cos(x)) - (\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)) = 0 \)
\( (\cos(x) -\sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) [\cos(x) -\sin(x) -1] = 0 \)
\( [\cos^2(x)-\sin^2(x)][\cos(x) -\sin(x) -1] = 0 \)
\( \cos^2(x) -\sin^2(x) = 0 \vee \cos(x) -\sin(x) -1 = 0 \)
\( \cos(2x) = 0 \vee \sin(x) - \cos(x) +1 = 0 \)
\( \cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \vee \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
\( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ \ k\in \zz \vee \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x) -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x)= -\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
\( \sin\left(x -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) \)
\( x -\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \vee x- \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi }{4} +2k\pi, \ \ k\in \zz \)
\( x = 2k\pi \vee x_{2} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \ \ k\in \zz.\)
\( x \in \left\{ 0, \ \ \frac{3\pi}{2} \ \ 2\pi \right \}. \)