Płaszczyzna ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Płaszczyzna ostrosłupa
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma krawędź \(a\). Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(3 \alpha\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Ostatnio zmieniony 05 kwie 2023, 10:57 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Uczeń
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 22
- Rejestracja: 05 kwie 2023, 09:01
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Płaszczyzna ostrosłupa
Rozważmy przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Otrzymamy w ten sposób czworokąt foremny, którego przekątna będzie równa krawędzi podstawy ostrosłupa.
Aby obliczyć długość przekątnej tego czworokąta, skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Niech d oznacza długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli odcinka łączącego wierzchołek ostrosłupa z punktem przecięcia płaszczyzny przekroju z krawędzią podstawy. Wówczas, zastosowując twierdzenie cosinusów w trójkącie o bokach d, a i a (przeciwprostokątna), otrzymamy:
\(
a^2 = d^2 + a^2 - 2ad \cos \alpha\)
\(d = \frac{a}{2\cos\alpha}\)
Długość przekątnej czworokąta foremnego to z kolei:
\(\sqrt{2} a = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{\cos\alpha}\)
Pole tego przekroju to z kolei pole czworokąta foremnego, czyli:
\(P = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a^2 = \frac{a^2}{\cos^2\alpha}\)
Ostatecznie więc pole przekroju ostrosłupa jest równe \(\frac{a^2}{\cos^2\alpha}\).
Aby obliczyć długość przekątnej tego czworokąta, skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Niech d oznacza długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli odcinka łączącego wierzchołek ostrosłupa z punktem przecięcia płaszczyzny przekroju z krawędzią podstawy. Wówczas, zastosowując twierdzenie cosinusów w trójkącie o bokach d, a i a (przeciwprostokątna), otrzymamy:
\(
a^2 = d^2 + a^2 - 2ad \cos \alpha\)
\(d = \frac{a}{2\cos\alpha}\)
Długość przekątnej czworokąta foremnego to z kolei:
\(\sqrt{2} a = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{\cos\alpha}\)
Pole tego przekroju to z kolei pole czworokąta foremnego, czyli:
\(P = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a^2 = \frac{a^2}{\cos^2\alpha}\)
Ostatecznie więc pole przekroju ostrosłupa jest równe \(\frac{a^2}{\cos^2\alpha}\).
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Płaszczyzna ostrosłupa
Czyli kwadrat . Proponuję zasadę : Po pierwsze nie szkodzić
Poza tym, jeśli edytujesz i zmieniasz swój post - napisz o tym! Wcześniej były jeszcze ciekawsze rzeczy...
Do rzeczy:
- Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z szybkimi wnioskami dotyczącymi kątów:
- Z \(\Delta PMN\) i tw. Snelliusa: \(\frac{a}{\sin(180^\circ-4\alpha)}=\frac{h}{\sin3\alpha}\So h=\ldots\)
- Z \(\Delta NMS\) i tw. Snelliusa: \(\frac{|SM|}{\sin4\alpha}=\frac{h}{\sin(180^\circ-6\alpha)}=\frac{|NS|}{\sin2\alpha}\So \begin{cases}|SP|=|SM|=\ldots\\ |NS|=\ldots\end{cases}\)
- \(\Delta LKS\sim\Delta ADS,\ (bkb): \frac{b}{|NS|}=\frac{a}{|SP|}\So b=\ldots\)
- Przekrojem jest trapez równoramienny o polu \(S_{BCKL}=\frac{a+b}{2}\cdot h=\ldots\)
[edited] Zauważyłem, że na rysunku zniknęło: \(\alpha\in(0; {\pi\over6})\), co jest warunkiem istnienia danego ostrosłupa!
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 141
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 594 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć: