W prostokątnym układzie współrzędnych przedstaw zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunki:
\( \frac{x+3}{\log_2(x+2)} = \frac{\log_2(y+2)}{\log_2(x+2)}\) i \(y^2<36\)
Widziałem takie samo zadanie na forum ale z 2014 więc stwierdziłem, że dodam ponownie.
Napisałem sobie \(x>-2,\ x \neq -1\) i \(y>-2\), czyli dziedzina to \(x \in (-2;-1) \cup (-1; \infty) \) wiem również, że ten wykres będzie między prostymi \(y=-6\) i \(y=6\). Przekształcając równanie wyszło mi \(y=2^{x+3}-2\) i wiem jak to narysować. Jedyne co mi nie pasuje w rozwiązaniu z 2014 to to, że dziedzina rozwiązującego była \(D=(-2;-1) \cup (2; \infty )\). Czy ktoś może mi wyjaśnić, które rozwiązanie jest poprawne?
Funkcja logarytmiczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janiezadenziutek
- Dopiero zaczynam
- Posty: 12
- Rejestracja: 28 mar 2023, 20:12
- Podziękowania: 3 razy
Funkcja logarytmiczna
Ostatnio zmieniony 05 kwie 2023, 08:34 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
-
nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Funkcja logarytmiczna
Rozwiązanie, które zaproponował Galen jest poprawne.
Pozdrawiam
Ps. Pomyśl na spokojnie, połącz fakty i powtórz sobie czym jest dziedzina i zbiór wartości funkcji.
Pozdrawiam
Ps. Pomyśl na spokojnie, połącz fakty i powtórz sobie czym jest dziedzina i zbiór wartości funkcji.
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
.\(e^{i\pi}+1=0\)
-
janiezadenziutek
- Dopiero zaczynam
- Posty: 12
- Rejestracja: 28 mar 2023, 20:12
- Podziękowania: 3 razy
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10384 razy
- Płeć:
Re: Funkcja logarytmiczna
Dziedzinę wyznaczyłeś dobrze.janiezadenziutek pisze: ↑05 kwie 2023, 01:49 Właśnie już długo kminiłem skąd jest ta 2 i nie mam pomysłu dalej ://
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
uziom
- Dopiero zaczynam
- Posty: 22
- Rejestracja: 05 kwie 2023, 09:01
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Funkcja logarytmiczna
Początkowo uporządkujmy równanie:
\(\begin{align*}
\frac{x+3}{\log_2(x+2)} &= \frac{\log_2(y+2)}{\log_2(x+2)}\
\frac{x+3}{\log_2(x+2)} \cdot \log_2(x+2) &= \log_2(y+2)\
x+3 &= \log_2(y+2)
\end{align*}\)
Ponieważ logarytm ma wartość tylko dla liczb dodatnich, to musimy rozwiązać nierówność \(y^2<36\), która mówi, że wartości y muszą zawierać się w przedziale \(-6<y<6\).
Ostatecznie, zbiór punktów, które spełniają oba warunki, to prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych, którego lewy dolny wierzchołek znajduje się w punkcie \((-2,-6)\), a prawy górny wierzchołek w punkcie \((-\frac{7}{3}, 6)\).
\(\begin{align*}
\frac{x+3}{\log_2(x+2)} &= \frac{\log_2(y+2)}{\log_2(x+2)}\
\frac{x+3}{\log_2(x+2)} \cdot \log_2(x+2) &= \log_2(y+2)\
x+3 &= \log_2(y+2)
\end{align*}\)
Ponieważ logarytm ma wartość tylko dla liczb dodatnich, to musimy rozwiązać nierówność \(y^2<36\), która mówi, że wartości y muszą zawierać się w przedziale \(-6<y<6\).
Ostatecznie, zbiór punktów, które spełniają oba warunki, to prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych, którego lewy dolny wierzchołek znajduje się w punkcie \((-2,-6)\), a prawy górny wierzchołek w punkcie \((-\frac{7}{3}, 6)\).