Prąd indukowany w cewce kołowej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Prąd indukowany w cewce kołowej
Okrągła cewka z 37 zwojami o promieniu 0,03m i całkowitym oporze 0,1 Ω jest umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do płaszczyzny cewek. Wielkość pola zmienia się jako B=sin(10 π t) mT. Znajdź wartość prądu indukowanego po 0,1 s.
-
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Prąd indukowany w cewce kołowej
Dane:
\( n = 37 \ \ zwojów. \)
\( r = 0,03 =3\cdot 10^2 \ \ m.\)
\( B = \sin(10 \cdot \pi \cdot t) \ \ mT = 10^{-3}\sin(10\cdot \pi \cdot t) \ \ T.\)
\( t_{0} = 0,1 \ \ s = 10^{-1} \ \ s .\)
\( R = 0,1 \ \ \Omega = 10^{-1} \ \ \Omega.\)
Obliczyć :
\( i(t_{0})\) - wartość prądu indukowanego po czasie \( t_{0}.\)
Rozwiązanie:
Powierzchnia cewki i jej położenie względem pola magmetycznego nie zmieniają się, zatem SEM indukowana w cewce:
\( \varepsilon (t) = \frac{dB}{dt} = n\cdot S \cdot \cos(10 \cdot \pi \cdot t) = n\cdot 10\cdot (\pi \cdot r)^2\cdot \cos(10\cdot \pi\cdot t) \ \ V. \)
Wartość prądu indukowanego po czasie \( t_{0}:\)
\( i(t_{0}) = \frac{\varepsilon(t_{0})}{R} \ \ A.\)
\( n = 37 \ \ zwojów. \)
\( r = 0,03 =3\cdot 10^2 \ \ m.\)
\( B = \sin(10 \cdot \pi \cdot t) \ \ mT = 10^{-3}\sin(10\cdot \pi \cdot t) \ \ T.\)
\( t_{0} = 0,1 \ \ s = 10^{-1} \ \ s .\)
\( R = 0,1 \ \ \Omega = 10^{-1} \ \ \Omega.\)
Obliczyć :
\( i(t_{0})\) - wartość prądu indukowanego po czasie \( t_{0}.\)
Rozwiązanie:
Powierzchnia cewki i jej położenie względem pola magmetycznego nie zmieniają się, zatem SEM indukowana w cewce:
\( \varepsilon (t) = \frac{dB}{dt} = n\cdot S \cdot \cos(10 \cdot \pi \cdot t) = n\cdot 10\cdot (\pi \cdot r)^2\cdot \cos(10\cdot \pi\cdot t) \ \ V. \)
Wartość prądu indukowanego po czasie \( t_{0}:\)
\( i(t_{0}) = \frac{\varepsilon(t_{0})}{R} \ \ A.\)
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 22
- Rejestracja: 05 kwie 2023, 09:01
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Prąd indukowany w cewce kołowej
Możemy użyć prawa Faradaya, które mówi, że siła elektromotoryczna (SEM) indukowana w cewce jest równa szybkości zmiany strumienia magnetycznego, który przechodzi przez cewkę. Strumień magnetyczny przez cewkę o łącznej oporności R wynosi:
\(\Phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2\)
gdzie B to wartość pola magnetycznego, A to pole powierzchni cewki (w tym przypadku pole powierzchni koła), a r to promień cewki.
Szybkość zmiany strumienia magnetycznego jest równa pochodnej strumienia magnetycznego po czasie, czyli:
\(\frac{d\Phi}{dt} = B \cdot \frac{d}{dt}(\pi r^2 \cdot \sin(10\pi t)) = \pi r^2 \cdot \cos(10\pi t) \cdot 10\pi
\)
Zgodnie z prawem Faradaya, SEM wynosi:
\(SEM = -\frac{d\Phi}{dt}\)
Z kolei prąd indukowany w cewce wynosi:
\(I = \frac{SEM}{R}
\)
Wartość prądu indukowanego po 0,1 s wynosi zatem:
\(I = \frac{\pi r^2 \cdot \cos(10\pi \cdot 0.1) \cdot 10\pi}{0.1} = \frac{\pi \cdot 0.03^2 \cdot \cos(\pi)}{0.1} \cdot 10\pi \approx -0.0014 A
\)
Ujemny znak oznacza, że prąd płynie w przeciwnym kierunku do obiegu wskazówek zegara, patrząc na cewkę od góry.
\(\Phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2\)
gdzie B to wartość pola magnetycznego, A to pole powierzchni cewki (w tym przypadku pole powierzchni koła), a r to promień cewki.
Szybkość zmiany strumienia magnetycznego jest równa pochodnej strumienia magnetycznego po czasie, czyli:
\(\frac{d\Phi}{dt} = B \cdot \frac{d}{dt}(\pi r^2 \cdot \sin(10\pi t)) = \pi r^2 \cdot \cos(10\pi t) \cdot 10\pi
\)
Zgodnie z prawem Faradaya, SEM wynosi:
\(SEM = -\frac{d\Phi}{dt}\)
Z kolei prąd indukowany w cewce wynosi:
\(I = \frac{SEM}{R}
\)
Wartość prądu indukowanego po 0,1 s wynosi zatem:
\(I = \frac{\pi r^2 \cdot \cos(10\pi \cdot 0.1) \cdot 10\pi}{0.1} = \frac{\pi \cdot 0.03^2 \cdot \cos(\pi)}{0.1} \cdot 10\pi \approx -0.0014 A
\)
Ujemny znak oznacza, że prąd płynie w przeciwnym kierunku do obiegu wskazówek zegara, patrząc na cewkę od góry.
Ostatnio zmieniony 05 kwie 2023, 10:59 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \sin, \cos
Powód: Poprawa kodu: \sin, \cos
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 22
- Rejestracja: 05 kwie 2023, 09:01
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Prąd indukowany w cewce kołowej
Wartość prądu indukowanego w cewce może być obliczona za pomocą wzoru:
\(EMF = - N \cdot (ΔΦ/Δt)\)
gdzie:
EMF to wartość siły elektromotorycznej (ang. electromagnetic force) wytworzonej w obwodzie,
N to liczba zwojów cewki,
ΔΦ to zmiana strumienia magnetycznego w cewce,
Δt to zmiana czasu.
Strumień magnetyczny w cewce może być obliczony za pomocą wzoru:
\(Φ = B \cdot A\)
gdzie:
A to powierzchnia cewki.
W naszym przypadku, cewka jest okrągła, więc jej powierzchnia wynosi:
\(A = π \cdot r^2\)
gdzie:
r to promień cewki.
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
\(A = π \cdot (0,03 m)^2 = 0,00282743 m^2\)
Strumień magnetyczny zmienia się w czasie, więc możemy wyznaczyć jego zmianę ΔΦ, obliczając różnicę wartości B w dwóch chwilach czasu, oddalonych o Δt = 0,1 s.
\(ΔΦ = (B(t+Δt) - B(t)) \cdot A\)
\(ΔΦ = (\sin(10π(t+0,1)) - \sin(10πt)) \cdot 0,00282743\)
\(ΔΦ = -0,06027 mWb\)
Teraz możemy wyznaczyć wartość siły elektromotorycznej EMF, podstawiając wartości do wzoru:
\(EMF = - N \cdot (ΔΦ/Δt)\)
\(EMF = - 37 \cdot (-0,06027/0,1)\)
\(EMF = 22,3607 V\)
Wartość ta odpowiada wartości prądu indukowanego w chwili \(t = 0,1\) s.
\(EMF = - N \cdot (ΔΦ/Δt)\)
gdzie:
EMF to wartość siły elektromotorycznej (ang. electromagnetic force) wytworzonej w obwodzie,
N to liczba zwojów cewki,
ΔΦ to zmiana strumienia magnetycznego w cewce,
Δt to zmiana czasu.
Strumień magnetyczny w cewce może być obliczony za pomocą wzoru:
\(Φ = B \cdot A\)
gdzie:
A to powierzchnia cewki.
W naszym przypadku, cewka jest okrągła, więc jej powierzchnia wynosi:
\(A = π \cdot r^2\)
gdzie:
r to promień cewki.
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
\(A = π \cdot (0,03 m)^2 = 0,00282743 m^2\)
Strumień magnetyczny zmienia się w czasie, więc możemy wyznaczyć jego zmianę ΔΦ, obliczając różnicę wartości B w dwóch chwilach czasu, oddalonych o Δt = 0,1 s.
\(ΔΦ = (B(t+Δt) - B(t)) \cdot A\)
\(ΔΦ = (\sin(10π(t+0,1)) - \sin(10πt)) \cdot 0,00282743\)
\(ΔΦ = -0,06027 mWb\)
Teraz możemy wyznaczyć wartość siły elektromotorycznej EMF, podstawiając wartości do wzoru:
\(EMF = - N \cdot (ΔΦ/Δt)\)
\(EMF = - 37 \cdot (-0,06027/0,1)\)
\(EMF = 22,3607 V\)
Wartość ta odpowiada wartości prądu indukowanego w chwili \(t = 0,1\) s.
Ostatnio zmieniony 05 kwie 2023, 11:02 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \sin, \cos, \cdot
Powód: Poprawa kodu: \sin, \cos, \cdot