Strona 1 z 1
Nieskonczony ciąg
: 03 kwie 2023, 19:52
autor: Jakośtak_21
dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej
\(n\ge1\). suma czterech początkowych wyrazów ciągu jest równa
\(x\) a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
\(2\) wyznacz wszystkie wartości
\(x\)
Bardzo proszę o pomoc
Re: Nieskonczony ciąg
: 03 kwie 2023, 21:05
autor: grdv10
Mamy warunki (oznaczenia standardowe) \(a(1+q+q^2+q^3)=x\) oraz \(\frac{a}{1-q}=2.\) Ale też z ,,powtarzalności" tego typu sumy będziemy mieli\[x+q^4(a+aq+\dots)=2.\] W powyższej równości \(x\) to suma pierwszych czterech wyrazów, a potem jest suma pozostałych wyrazów, z której wyciąnąłem przed nawias \(q^4.\) Stąd\[x+2q^4=2.\]Oczywiście musi być \(|q|<1.\) Rozwiązujemy ten układ równań. Otrzymamy dwa rozwiązania. W jednym \(q=-1\), co odpada ze względu na warunek zbieżności. W drugim \(a=q=2/3\) oraz \(x=130/81.\)
Re: Nieskonczony ciąg
: 03 kwie 2023, 21:46
autor: Icanseepeace
szw1710 pisze: ↑03 kwie 2023, 21:05
Mamy warunki (oznaczenia standardowe) \(a(1+q+q^2+q^3)=x\) oraz \(\frac{a}{1-q}=2.\) Ale też z ,,powtarzalności" tego typu sumy będziemy mieli\[x+q^4(a+aq+\dots)=2.\] W powyższej równości \(x\) to suma pierwszych czterech wyrazów, a potem jest suma pozostałych wyrazów, z której wyciąnąłem przed nawias \(q^4.\) Stąd\[x+2q^4=2.\]Oczywiście musi być \(|q|<1.\) Rozwiązujemy ten układ równań. Otrzymamy dwa rozwiązania. W jednym \(q=-1\), co odpada ze względu na warunek zbieżności. W drugim \(a=q=2/3\) oraz \(x=130/81.\)
Coś mi tutaj nie pasuje:
Nie mogę znaleźć drugiego równania z wspomnianego układu równań. Prostym kontrprzykładem będzie ciąg
\( (2,0,0,\ldots) \)
W momencie gdy mamy
\( x = 2 - 2q^4 \) wystarczy znaleźć wszystkie możliwe wartości
\(x\) dla których
\( |q| < 1 \).
Najprościej i najszybciej jest odczytać je z wykresu:
\( x \in (0 , 2] \)
Re: Nieskonczony ciąg
: 03 kwie 2023, 22:10
autor: grdv10
Icanseepeace pisze: ↑03 kwie 2023, 21:46
Coś mi tutaj nie pasuje:
Nie mogę znaleźć drugiego równania z wspomnianego układu równań. Prostym kontrprzykładem będzie ciąg
\( (2,0,0,\ldots) \)
W momencie gdy mamy
\( x = 2 - 2q^4 \) wystarczy znaleźć wszystkie możliwe wartości
\(x\) dla których
\( |q| < 1 \).
Najprościej i najszybciej jest odczytać je z wykresu:
\( x \in (0 , 2] \)
Dziękuję za zwrócenie uwagi. Musiałem programowi SageMath podać równanie z literówką.
Kod: Zaznacz cały
sage: x,a,q=var('x,a,q')
sage: r1=a*(1+q+q^2+q^3)==x
sage: r2=a==2*(1-q)
sage: r3=x+2*q^4==2
sage: solve([r1,r2,r3],[x,a,q])
[[x == -1/8*r1^4 + r1^3 - 3*r1^2 + 4*r1, a == r1, q == -1/2*r1 + 1]]
Po ponownym wpisaniu równań wychodzi rozwiązanie parametryczne, ale Twoje rozwiązanie jest eleganckie, więc nie będę kontynuował.
Re: Nieskonczony ciąg
: 09 kwie 2023, 16:17
autor: Doni67
A nie \(x\in[-1,1]\)? Wydaje mnie się, że przedział przytoczony przez Icanseepeace będzie właściwy dla zbioru wartości. Mogę prosić o lepsze wytłumaczenie?
Re: Nieskonczony ciąg
: 09 kwie 2023, 18:55
autor: janusz55
Z treści zadania wynika układ równań:
\( \begin{cases} a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^2 + a_{1} q^3 =x \\ \frac{a_{1}}{1-q} = 2, \ \ |q|<1. \end{cases} \)
Podstawiając \( a_{1} = 2(1-q) \) z drugiego równania do pierwszego i redukując składniki podobne, otrzymujemy równanie:
\( 2(1-q^4) = 2(1-q^2)(1+q^2) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) = x. \)
Rysując w układzie współrzędnych prostokątnych \( (0q y) \) wykres funkcji \( f(q) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) \), widzimy, że dla \( -1< q < 1, \ \ x\in (0, 2] = R(f) \) , jak wcześniej zauważył Icanseepeace.