dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). suma czterech początkowych wyrazów ciągu jest równa \(x\) a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2\) wyznacz wszystkie wartości \(x\)
Bardzo proszę o pomoc
Nieskonczony ciąg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 03 kwie 2023, 19:49
Nieskonczony ciąg
Ostatnio zmieniony 03 kwie 2023, 22:22 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex], pisz po polsku!
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex], pisz po polsku!
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Nieskonczony ciąg
Mamy warunki (oznaczenia standardowe) \(a(1+q+q^2+q^3)=x\) oraz \(\frac{a}{1-q}=2.\) Ale też z ,,powtarzalności" tego typu sumy będziemy mieli\[x+q^4(a+aq+\dots)=2.\] W powyższej równości \(x\) to suma pierwszych czterech wyrazów, a potem jest suma pozostałych wyrazów, z której wyciąnąłem przed nawias \(q^4.\) Stąd\[x+2q^4=2.\]Oczywiście musi być \(|q|<1.\) Rozwiązujemy ten układ równań. Otrzymamy dwa rozwiązania. W jednym \(q=-1\), co odpada ze względu na warunek zbieżności. W drugim \(a=q=2/3\) oraz \(x=130/81.\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Nieskonczony ciąg
Coś mi tutaj nie pasuje:szw1710 pisze: ↑03 kwie 2023, 21:05 Mamy warunki (oznaczenia standardowe) \(a(1+q+q^2+q^3)=x\) oraz \(\frac{a}{1-q}=2.\) Ale też z ,,powtarzalności" tego typu sumy będziemy mieli\[x+q^4(a+aq+\dots)=2.\] W powyższej równości \(x\) to suma pierwszych czterech wyrazów, a potem jest suma pozostałych wyrazów, z której wyciąnąłem przed nawias \(q^4.\) Stąd\[x+2q^4=2.\]Oczywiście musi być \(|q|<1.\) Rozwiązujemy ten układ równań. Otrzymamy dwa rozwiązania. W jednym \(q=-1\), co odpada ze względu na warunek zbieżności. W drugim \(a=q=2/3\) oraz \(x=130/81.\)
Nie mogę znaleźć drugiego równania z wspomnianego układu równań. Prostym kontrprzykładem będzie ciąg \( (2,0,0,\ldots) \)
W momencie gdy mamy \( x = 2 - 2q^4 \) wystarczy znaleźć wszystkie możliwe wartości \(x\) dla których \( |q| < 1 \).
Najprościej i najszybciej jest odczytać je z wykresu: \( x \in (0 , 2] \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Nieskonczony ciąg
Dziękuję za zwrócenie uwagi. Musiałem programowi SageMath podać równanie z literówką.Icanseepeace pisze: ↑03 kwie 2023, 21:46 Coś mi tutaj nie pasuje:
Nie mogę znaleźć drugiego równania z wspomnianego układu równań. Prostym kontrprzykładem będzie ciąg \( (2,0,0,\ldots) \)
W momencie gdy mamy \( x = 2 - 2q^4 \) wystarczy znaleźć wszystkie możliwe wartości \(x\) dla których \( |q| < 1 \).
Najprościej i najszybciej jest odczytać je z wykresu: \( x \in (0 , 2] \)
Kod: Zaznacz cały
sage: x,a,q=var('x,a,q')
sage: r1=a*(1+q+q^2+q^3)==x
sage: r2=a==2*(1-q)
sage: r3=x+2*q^4==2
sage: solve([r1,r2,r3],[x,a,q])
[[x == -1/8*r1^4 + r1^3 - 3*r1^2 + 4*r1, a == r1, q == -1/2*r1 + 1]]
Po ponownym wpisaniu równań wychodzi rozwiązanie parametryczne, ale Twoje rozwiązanie jest eleganckie, więc nie będę kontynuował.
-
- Rozkręcam się
- Posty: 30
- Rejestracja: 21 lut 2023, 15:39
- Podziękowania: 7 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Re: Nieskonczony ciąg
A nie \(x\in[-1,1]\)? Wydaje mnie się, że przedział przytoczony przez Icanseepeace będzie właściwy dla zbioru wartości. Mogę prosić o lepsze wytłumaczenie?
-
- Fachowiec
- Posty: 1596
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Nieskonczony ciąg
Z treści zadania wynika układ równań:
\( \begin{cases} a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^2 + a_{1} q^3 =x \\ \frac{a_{1}}{1-q} = 2, \ \ |q|<1. \end{cases} \)
Podstawiając \( a_{1} = 2(1-q) \) z drugiego równania do pierwszego i redukując składniki podobne, otrzymujemy równanie:
\( 2(1-q^4) = 2(1-q^2)(1+q^2) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) = x. \)
Rysując w układzie współrzędnych prostokątnych \( (0q y) \) wykres funkcji \( f(q) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) \), widzimy, że dla \( -1< q < 1, \ \ x\in (0, 2] = R(f) \) , jak wcześniej zauważył Icanseepeace.
\( \begin{cases} a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^2 + a_{1} q^3 =x \\ \frac{a_{1}}{1-q} = 2, \ \ |q|<1. \end{cases} \)
Podstawiając \( a_{1} = 2(1-q) \) z drugiego równania do pierwszego i redukując składniki podobne, otrzymujemy równanie:
\( 2(1-q^4) = 2(1-q^2)(1+q^2) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) = x. \)
Rysując w układzie współrzędnych prostokątnych \( (0q y) \) wykres funkcji \( f(q) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) \), widzimy, że dla \( -1< q < 1, \ \ x\in (0, 2] = R(f) \) , jak wcześniej zauważył Icanseepeace.