Zadanie z funkcją wielomianową

[Maciek32]

Funkcja f określona jest wzorem:
\(f(x)=| \frac{1}{3}(x+2)^2(x- \frac{11}{2} ) |\)
dla każdego \(x \in \rr\) . Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(3\) jest równa \(0\).

1.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale \([-4,4]\).
2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie \(f(x ) = 3 + |m + 1|\) ma cztery rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.

[eresh]

Funkcja f określona jest wzorem:
\(f(x)=| \frac{1}{3}(x+2)^2(x- \frac{11}{2} ) |\)
dla każdego \(x \in \rr\) . Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(3\) jest równa \(0\).

1.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale \([-4,4]\).

dla \(x\in [-4,4]\;\;f(x)=-\frac{1}{3}(x+2)^2(x-\frac{11}{2})\)
\(f'(x)=-\frac{2}{3}(x+2)(x-\frac{11}{2})-\frac{1}{3}(x+2)^2\\
f'(x)=-\frac{1}{3}(x+2)(2x-11+x+2)\\
f'(x)=-\frac{1}{3}(x+2)(3x-9)\\
f'(x)=0\iff x\in\{-2,3\}\\
f(-2)+0\\
f(3)=\frac{125}{6}\\
f(4)=-18\\
f(-4)=\frac{38}{3}\)

Odpowiedź: \([0,\frac{125}{6}]\)

[eresh]

Funkcja f określona jest wzorem:
\(f(x)=| \frac{1}{3}(x+2)^2(x- \frac{11}{2} ) |\)
dla każdego \(x \in \rr\) . Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(3\) jest równa \(0\).


2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie \(f(x ) = 3 + |m + 1|\) ma cztery rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.

Cztery pierwiastki, których iloczyn jest ujemny - jeden pierwiastek ujemny i trzy dodatnie. Z wykresu widać, że
\(f(0)<3+|m+1|\in f_{max}=f(3)\\
3+|m+1|>\frac{22}{3}\;\;\;3+|m+1|<\frac{125}{6}\\
|m+1|>\frac{13}{3}\;\;\;\wedge\;\;\;|m+1|<\frac{107}{6}\\
(m+1>\frac{13}{3}\;\;\vee\;\;m+1>-\frac{13}{3})\;\;\;\wedge\;\;\;\frac{-107}{6}<m+1<\frac{107}{6}\\
m\in (-\frac{113}{6},\frac{-16}{3})\cup (\frac{10}{3},\frac{101}{6})
\)