wierzchołki trójkąta

[wesołyRomek]

Mówiłam tu o punktach A' i A"

[anka]

Ale przecież one nie są dowolne.
Nie ważne.

[wesołyRomek]

Tak, nie są dowolne, ale na początku nie znałaś ich, więc zakładałam że są dowolne, nie związane z układem współrzędnych, nie wiem jak to powiedzieć.

[kamil13151]

Mógłby ktoś zamieścić cały dowód (od początku do końca z uzasadnieniem)?

[octahedron]

Generalnie chodzi o to, że dwusieczna jest osią symetrii kąta, więc jeśli odbijemy punkt \(A\) względem dwusiecznej z wierzchołka \(B\), to jego obraz \(A'\) leży na jednej prostej z punktami \(B\) i \(C\). Tak samo obraz \(A''\) względem drugiej dwusiecznej, zatem punkty \(A'\) i \(A''\) wyznaczają prostą, na której leżą wierzchołki \(B\) i \(C\). A leżą one w punktach przecięcia tej prostej z dwusiecznymi.

[patryk00714]

dzięki octahedron za eleganckie wyjaśnienie

[wesołyRomek]

Ok, więc rozwiązanie moim zdaniem powinno wyglądać tak:
A' -punkt przecięcia się prostej prostopadłej do dwusiecznej d2 z prostą BC
A"-punkt przecięcia się prostej prostopadłej do dwusiecznej d1 z prostą BC
E-punkt przecięcia się dwusiecznej d2 z prostą AA'; lezy w połowie odcinka AA'
D-punkt przecięcia się dwusiecznej d1 z prostą AA"; leży w połowie odcinka AA"

Równanie prostej AA'
\(y=ax+b
aa1=-1
a1=1
y=x+b
2=1+b
b=1
AA': y=x+1\)

Współrzedne punktu E:

Równanie prostej AA":
\(y=ax+b
aa1=-1
2a1=-1
a1= \frac{-1}{2}
y= \frac{-1}{2}x+b
2= \frac{-1}{2}x+b
b= \frac{5}{2}
AA":y= \frac{-1}{2}x+ \frac{5}{2}\)

Współrzedne punktu D:
\(2x+3= \frac{-1}{2}x+ \frac{5}{2}
\frac{5}{2}x= \frac{-1}{2}
x= \frac{-1}{5}
y= \frac{-2}{5}+3
y= \frac{13}{5}
D=( \frac{-1}{5}; \frac{13}{5})\)

Współrzędne punktu E:
\(-x+1=x+1
2x=0
x=0
y=1
E(0,1)\)

Współrzedne punktu A':
\(\frac{xA'+1}{2}=0 \Rightarrow xA'=-1
\frac{yA'+2}{2}=1 \Rightarrow yA'=0
A'=(-1,0)\)

Współrzędne punktu A":
\(\frac{xA"+1}{2}= \frac{-1}{5} \Rightarrow xA"= \frac{-7}{5}
\frac{yA"+2}{2}= \frac{13}{5} \Rightarrow yA"= \frac{16}{5}
A"( \frac{-7}{5}; \frac{16}{5})\)

Równanie prostej A'A":
\(y=ax+b
0=-a+b i \frac{16}{5} = \frac{-7}{5} +b
a=-8
b=a=-8
A'A": y=-8x-8\)

Współrzędne punktu B:
\(-8x-8=-x+1
7x=-9
x= \frac{-9}{7}
y= \frac{16}{7}
B( \frac{-9}{7}, \frac{16}{7})\)

Współrzędne punktu C:
\(-8x-8=2x+3
10x=-11
x= \frac{-11}{10}
y= \frac{4}{5}
C( \frac{-11}{10} ; \frac{4}{5} )\)