Równania trygonometryczne 2

[domino21]

5.
\(\sin x +\sin 2x +\sin 3x =\cos x +\cos 2x +\cos 3x
2\sin 2x \cos x +\sin 2x = 2\cos 2x \cos x +\cos 2x
\sin 2x (2\cos x+1)=\cos 2x (2\cos x+1)=0
(2\cos x+1)(\sin 2x-\cos 2x)=0
\cos x=-\frac{1}{2} \ \vee \ tg 2x=1
x=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{4\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{\pi}{4} +k\pi , \ k\in C
x=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{4\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{8} +\frac{k\pi}{2} , \ k\in C\)

[domino21]

6.
\(\sin x \sin 2x= \cos x \cos 2x
2\sin^2 x \cos x=\cos x(1-2\sin^2 x)
2\sin^2 x \cos x=\cos x-2\sin^2 x \cos x
4\sin^2 x \cos x-\cos x=0
\cos x(4\sin^2 x-1)=0
\cos x(2\sin x-1)(2\sin x+1)=0
\cos x=0 \ \vee \ \sin x=\frac{1}{2} \ \vee \ \sin x=-\frac{1}{2}
x=\frac{\pi}{2} +k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{6} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{7\pi}{6} +2k\pi \ \vee \ x=\frac{11\pi}{6} , \ k\in C
x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3} , \ k\in C\)

[domino21]

7.
\(\cos x \sin 7x =\cos 3x \sin 5x
\sin 8x+\sin 6x=\sin 8x +\sin 2x
\sin 6x=\sin 2x
\sin (4x+2x)=\sin 2x
\sin 4x \cos 2x +\cos 4x\sin 2x=\sin 2x
2\sin 2x \cos^2 2x +\cos 4x \sin 2x -\sin 2x=0
\sin 2x(2\cos^2 2x +1-2\sin^2 2x-1)=0
\sin 2x (\cos^2 2x - \sin^2 2x)=0
\sin 2x \cos 4x=0
\sin 2x=0 \ \vee \ \cos 4x=0
2x=k\pi \ \vee \ 4x=\frac{\pi}{2} +k\pi , \ k\in C
x=\frac{k\pi}{2} \ \vee \ x=\frac{\pi}{8} +\frac{k\pi}{4} , \ k\in C\)

[aleksandrapyrpec]

A, są, dziękuję!

[aleksandrapyrpec]

Domino, mógłbyś mi wytłumaczyć jeszcze skąd ta zmiana?

7.
\(\cos x \sin 7x =\cos 3x \sin 5x
\sin 8x+\sin 6x=\sin 8x +\sin 2x\)

[domino21]

\(\cos x \sin 7x =\cos 3x \sin 5x\)

nie pachnie Ci to sumą sinusów?

\(\sin a +\sin b=2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}\)

dobieram iksy i igreki tak, aby pasowały one do równania:
\(\begin{cases} \frac{a+b}{2} =7x \\ \frac{a-b}{2} =x \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} a+b=14x \\ a-b=2x \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} a=8x \\ b=6x \end{cases}\)

stąd:

\(\cos x \sin 7x =\frac{1}{2}( \sin 8x +\sin 6x)\)

[aleksandrapyrpec]

O tej porze już nic nie pachnie sumą sinusów... Wszystko już wywietrzało - wszystkie sumy, różnice i iloczyny. Ale mam nadzieję że będzie ładnie pachnieć jutro o 10:10 na sprawdzianie.