Czyli to jest to co wcześniej tak?
dzielenie wielomianów z liczbami zespolonymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: dzielenie wielomianów z liczbami zespolonymi
czyli hornerem wychodzi mi, ale nie wiem jak to się dzieli tym pisemnym
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3809
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 53 razy
- Otrzymane podziękowania: 2055 razy
Re: dzielenie wielomianów z liczbami zespolonymi
Tak, dobrze doliczyłeś
Pozdrawiam
PS. Wolałem policzyć samodzielnie niż ślepić po Twoich rachunkach!
[edited] daj spokój z tym dzieleniem pisemnym (to koszmarek), przecież odpowiedź już masz
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2056
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: dzielenie wielomianów z liczbami zespolonymi
\( W(x) = x^4 -6x^3 +18x^2 -30x +25.\)
Metoda pierwsza bez użycia programów matematycznych i kalkulatorów naukowych
\( W(2-i) = (2-i)^4 -6(2-i)^3 +18(2-i)^2 -30(2-i) +25.\)
\( (2-i)^4 = 2^4 -4\cdot 2^3i +6\cdot 2^2i^2 +i^4 = 16 -32i -24+8i +1 = -7 -24i.\)
\( -6(2-i)^3 = -6(2^3 -3\cdot 2^2i +3\cdot2i^2 -i^3)= -12 +66i.\)
\( 18 x^2 = 18(2- i)^2 = 18(2^2 -4i -1) = 18(4 -4i) = 54 - 72i.\)
\( -30 x = -30(2-i) = -60 +30i. \)
Po zsumowaniu składników
\( W(2-i) = -7 -24i -12 +66i +54 -72i -60 +30i +25 = 0 + 0i = 0.\)
Reszta z dzielenia tego wielomianu \( W \) przez liczbę \( (2-i) \) jest równa zeru
Metoda druga
Na podstawie twierdzenia Bezout i twierdzenia o iloczynie pierwiastków wielomianu
\((x- z_{1})\cdot (x-z_{2}) = (x-z_{1})\cdot (x-\overline{z}_{1}) = [x-(2-i)[(x-(2+i)] \)
dzielimy wielomian przez wielomian
(\((x-(2-i))(x-(2+i)) = x^2- 4x +5 \)
\( (x^4 -6x^3 +18x^2-30x +25) :(x^2 -4x +5) = (x^2 - 2x +5) \)
\( -x^4 +4x^3-5x^2 \)
____________________
\( -2x^3 +13x^2 - 30x \)
\( \ \ \ \ 2x^3 - 8x^2 +10x \)
____________________
\( 5x^2 -20x +25 \)
\(-5x^2 +20x -25 \ \ \)
____________________
\( - - - - - - - - -\)
Rozkład wielomianu na czynniki liniowe
\( W(x) = x^4 -6x^3 +18x^2 -30x +25 = (x^2-4x+5)(x^2-2x +5) = [x-(2-i)][x- (2+i)][x-(1-2i)][x-(1+2i)] \)
Ostatni iloczyn powstał z rozkładu trójmianu kwadratowego:
\( x^2 -2x +5 = [(x^2 -2x +1)+ 4] = [(x-1)^2 +2^2] = [(x-1)^2 + 4] = (1+2i)(x-1+2i)(x-1-2i) = [ x-(1-2i)][x-(1+2i)].\)
Metoda trzecia czynników nieoznaczonych
Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu w \( \cc \) na czynniki liniowe
\( W(x) = x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 = [x -(a-ib)][x-(a+ib][x-(2-i)][x-(2+i)] \)
\( x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 \equiv [ x^2 -ax +ibx -ax -ibx +a^2 +b^2][x^2 - 2x +ix -2x -ix -2x -ix +5] \)
\(x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 \equiv [ x^2 -2ax +a^2 +b^2 ][x^2 -4x +5] = x^4 -4x^3 +5x^2 -2ax^3 +8ax^2 -10ax +(a^2+b^2)x^2 + \)
\(- (a^2+b^2)x +5(a^2+b^2) \)
\( x^4 -(2a +4)x^2 + (a^2+b^2 +8a +5)x^2 - [4(a*2+b^2)+10a] +5(a^2+b^2)\)
\(\begin{cases} 2a +4 = 6 \\ a^2 +b^2 + 8a +5 = 18 \\ 4(a^2 +b^2) +10a = 30 \\ 5(a^2 + b^2) = 25 \end{cases} \)
Jedynymi rozwiązaniami tego układu są pary \( (1, 2), (1,-2) \)
Stąd
\( x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 = [x -(1+2i)][x-(1-2i][x-(2-i)][x-(2+i)] \)
Można ominąć te obliczenia i skorzystać ze wzoru Viete'a dla wielomianu czwartego stopnia.
Metoda pierwsza bez użycia programów matematycznych i kalkulatorów naukowych
\( W(2-i) = (2-i)^4 -6(2-i)^3 +18(2-i)^2 -30(2-i) +25.\)
\( (2-i)^4 = 2^4 -4\cdot 2^3i +6\cdot 2^2i^2 +i^4 = 16 -32i -24+8i +1 = -7 -24i.\)
\( -6(2-i)^3 = -6(2^3 -3\cdot 2^2i +3\cdot2i^2 -i^3)= -12 +66i.\)
\( 18 x^2 = 18(2- i)^2 = 18(2^2 -4i -1) = 18(4 -4i) = 54 - 72i.\)
\( -30 x = -30(2-i) = -60 +30i. \)
Po zsumowaniu składników
\( W(2-i) = -7 -24i -12 +66i +54 -72i -60 +30i +25 = 0 + 0i = 0.\)
Reszta z dzielenia tego wielomianu \( W \) przez liczbę \( (2-i) \) jest równa zeru
Metoda druga
Na podstawie twierdzenia Bezout i twierdzenia o iloczynie pierwiastków wielomianu
\((x- z_{1})\cdot (x-z_{2}) = (x-z_{1})\cdot (x-\overline{z}_{1}) = [x-(2-i)[(x-(2+i)] \)
dzielimy wielomian przez wielomian
(\((x-(2-i))(x-(2+i)) = x^2- 4x +5 \)
\( (x^4 -6x^3 +18x^2-30x +25) :(x^2 -4x +5) = (x^2 - 2x +5) \)
\( -x^4 +4x^3-5x^2 \)
____________________
\( -2x^3 +13x^2 - 30x \)
\( \ \ \ \ 2x^3 - 8x^2 +10x \)
____________________
\( 5x^2 -20x +25 \)
\(-5x^2 +20x -25 \ \ \)
____________________
\( - - - - - - - - -\)
Rozkład wielomianu na czynniki liniowe
\( W(x) = x^4 -6x^3 +18x^2 -30x +25 = (x^2-4x+5)(x^2-2x +5) = [x-(2-i)][x- (2+i)][x-(1-2i)][x-(1+2i)] \)
Ostatni iloczyn powstał z rozkładu trójmianu kwadratowego:
\( x^2 -2x +5 = [(x^2 -2x +1)+ 4] = [(x-1)^2 +2^2] = [(x-1)^2 + 4] = (1+2i)(x-1+2i)(x-1-2i) = [ x-(1-2i)][x-(1+2i)].\)
Metoda trzecia czynników nieoznaczonych
Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu w \( \cc \) na czynniki liniowe
\( W(x) = x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 = [x -(a-ib)][x-(a+ib][x-(2-i)][x-(2+i)] \)
\( x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 \equiv [ x^2 -ax +ibx -ax -ibx +a^2 +b^2][x^2 - 2x +ix -2x -ix -2x -ix +5] \)
\(x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 \equiv [ x^2 -2ax +a^2 +b^2 ][x^2 -4x +5] = x^4 -4x^3 +5x^2 -2ax^3 +8ax^2 -10ax +(a^2+b^2)x^2 + \)
\(- (a^2+b^2)x +5(a^2+b^2) \)
\( x^4 -(2a +4)x^2 + (a^2+b^2 +8a +5)x^2 - [4(a*2+b^2)+10a] +5(a^2+b^2)\)
\(\begin{cases} 2a +4 = 6 \\ a^2 +b^2 + 8a +5 = 18 \\ 4(a^2 +b^2) +10a = 30 \\ 5(a^2 + b^2) = 25 \end{cases} \)
Jedynymi rozwiązaniami tego układu są pary \( (1, 2), (1,-2) \)
Stąd
\( x^4 -6x^3 +18x^2 -30x + 25 = [x -(1+2i)][x-(1-2i][x-(2-i)][x-(2+i)] \)
Można ominąć te obliczenia i skorzystać ze wzoru Viete'a dla wielomianu czwartego stopnia.