liczby zespolone

[cl[859]]

Dla danej liczby naturalnej n wyznacz wszystkie liczby zespolone sprzężone ze swoją n-tą potęgą

[octahedron]

\(z^*=z^n
re^{-i\varphi}=r^ne^{in\varphi}
\begin{cases}r=r^n\\-\varphi=n\varphi+2k\pi \end{cases}
\begin{cases}r(1-r^{n-1})=0\\(n+1)\varphi=2k\pi \end{cases}
\begin{cases}r=0\ \vee\ r=1\\\varphi=\frac{2k\pi}{n+1},\ k=0,1,2,...,n \end{cases}\)

[cl[859]]

Dziękuję, a czy można to jakoś rozwiązać bez używania postaci wykładniczej bo jeszcze jej nie miałam na zajęciach i nie bardzo rozumiem:)

[octahedron]

Jest taka równość:

\(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\)

czyli

\(re^{i\varphi}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\)

Zresztą w tym zadaniu wystarczy wykorzystać fakt, że dwie liczby zespolone są równe, gdy równe są ich moduły i argumenty, ewentualnie argumenty różnią się o wielokrotność \(2\pi\)

[cl[859]]

Już chyba rozumiem, dziękuję bardzo:)