Zadania z trygonometrii.

[qwerty32121]

Witam serdecznie

Dostałem na zaliczenie 50 zadań z trygonometrii, większość już zrobiłem, jednak niektóre z nich sprawiły mi problemy. Dlatego zwracam się do Was z prośba o pomoc w kilku zadaniach.

Z góry dziekuję.

1) Ramiona kąta CPD są styczne do okręgu o środku O w punktach C i D. Oblicz obwód czworokąta OCPD, wiedząc, że promień okręgu ma długość 2 cm i jest dwa razy krótszy od odcinka OP.

2) Pole trapezu róznoramiennego jest równe \(32 cm^2\). Jego wysokość jest o 1 cm krótsza od jednej i o 7 cm krótsza od drugiej podstawy. Oblicz obwód tego trapezu.

3)Tożsamością dla kąta ostrego \(\alpha\) jest:
a) tg\(\alpha\) * sin\(\alpha\) = cos\(\alpha\)

b) ctg\(\alpha\) = tg(\(90^\circ\) - \(\alpha\)) = 1

c)\(sin^2 \alpha - cos^2 \alpha\) = 1

d) cos \(\alpha\) = \(\frac{3\sqrt10}{10}\)


4) Oblicz wartość wyrażenia: tg\(47^\circ\)* tg\(46^\circ\) * tg\(44^\circ\) * tg\(43^\circ\)

5) Wiedząc, że \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz sin \(\alpha\) + cos \(\alpha\) = \(\frac{5}{3}\), oblicz sin \(\alpha\) * cos \(\alpha\)

[czachur]

Witam serdecznie

Dostałem na zaliczenie 50 zadań z trygonometrii, większość już zrobiłem, jednak niektóre z nich sprawiły mi problemy. Dlatego zwracam się do Was z prośba o pomoc w kilku zadaniach.

Z góry dziekuję.

1) Ramiona kąta CPD są styczne do okręgu o środku O w punktach C i D. Oblicz obwód czworokąta OCPD, wiedząc, że promień okręgu ma długość 2 cm i jest dwa razy krótszy od odcinka OP.

2) Pole trapezu róznoramiennego jest równe \(32 cm^2\). Jego wysokość jest o 1 cm krótsza od jednej i o 7 cm krótsza od drugiej podstawy. Oblicz obwód tego trapezu.

3)Tożsamością dla kąta ostrego \(\alpha\) jest:
a) tg\(\alpha\) * sin\(\alpha\) = cos\(\alpha\)

b) ctg\(\alpha\) = tg(\(90^\circ\) - \(\alpha\)) = 1

c)\(sin^2 \alpha - cos^2 \alpha\) = 1

d) cos \(\alpha\) = \(\frac{3\sqrt10}{10}\)


4) Oblicz wartość wyrażenia: tg\(47^\circ\)* tg\(46^\circ\) * tg\(44^\circ\) * tg\(43^\circ\)

5) Wiedząc, że \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz sin \(\alpha\) + cos \(\alpha\) = \(\frac{5}{3}\), oblicz sin \(\alpha\) * cos \(\alpha\)

Hinty:

2. Oznacz sobie wysokość jako \(h\) , a podstawy jako \(h+1\) i \(h+7\) . Z pola tapezu równanie : \(\frac{1}{2} (h+1+h+7)\cdot h = 32\) . Otrzymasz długości podstaw i wysokość, bez ramienia, które wyliczysz z tw. Pitagorasa . No i obwód na koniec.

4. Skorzystaj z tego, że \(tg \alpha = ctg(90^\circ - \alpha)\) oraz \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1\) . Wynik:1
5. Skorzystaj z tego, że\((sin\alpha + cos\alpha)^2 = sin^2\alpha + cos^2\alpha+ 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha = 1 + 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha\) Podstawiasz i masz.

3. a nie jest
b jest, jeśli nie byłoby tej jedynki. iloczyn tangensa i cotangensa tego samego kąta daje 1, sam tg czy ctg nie.
c jest tożsamością, gdy między sinusem a cosinusem stoi plus. Z minusem tak nie jest.
d nie jest.
Więc nie wiem, czy czegoś nie widzę, czy coś może źle przepisane...

[Umberto]

1. |OP|=4, |OC|=|OD|=2, kąty PCO i PDO są proste, więc z pitagoraska mamy |PC|=|PD|=2 pierwiastki z 3.
Obwód=|OC|+|OD|+|PC|+|PD|= 4+4pierwiastki z trzech.

[qwerty32121]

Dziękuję za pomoc.

W zad 3 b ma być : \(ctg\alpha * tg(90^\circ - \alpha) = 1\) . Czy to jest tożsamością?

[jola]

nie jest tożsamością, bo ctg\(\alpha\cdot tg\(90^\circ-\alpha)=ctg\alpha\cdot ctg\alpha=ctg^2\alpha\)

prawdziwe tylko dla \(\alpha=45^\circ\)