a)\(\lim_{x\to \infty } \frac{(2n-1)^{2}}{(4n-1)(3n+2)}= \lim_{x\to \infty } \frac{4n^{2}-4n+1}{12n^{2}+5n-2}= \lim_{x\to \infty } \frac{4- \frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}} }{12+ \frac{5}{n}- \frac{2}{n^{2}} } = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)
b)\(\lim_{x\to \infty }= \frac{ \sqrt{1+2n+n^{2}}- \sqrt{1+4n^{2}} }{n} = \lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{ \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n}+1 }- \sqrt{ \frac{1}{n^{2}}+4 } }{1}= \sqrt{1} - \sqrt{4} =1-2=-1\)
c)\(\lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}} + \sqrt{1+4n^{2}} }{n} = \lim_{x\to \infty } \sqrt[3]{1+ \frac{2}{n} } + \sqrt{ \frac{1}{n}+4 } = \sqrt[3]{1} + \sqrt{4} =1+2=3\)
d)\(\lim_{x\to \infty } \frac{1}{ \sqrt[3]{8n^{3}-n^{2}} -2n} =\) tu korzystam ze wzoru skróconego mnożenia i wychodzi: \(\lim_{x\to \infty } - \sqrt[3]{64+ \frac{16}{n} + \frac{1}{n^{2}} } + \sqrt{64n^{2}-8n} +4=-4+ \infty +4= \infty\)
e) \(\lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}+7^{n}} =7\) - z twierdzenia o trzech ciągach - to wiem jak zrobić, ale czy wynik jest dobry?
f) \(\lim_{x\to \infty } ( \sqrt[3]{2n^{3}+3n^{2}} -8n)=\) korzystam ze wzoru: \(\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\)
i wychodzi:\(\frac{-510n}{ \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{1024}+64 } = \infty\)
g)\(\lim_{x\to \infty } \frac{(n+1)(n-2)}{n^{2}+3n+5}= \lim_{x\to \infty } \frac{n^{2}-n-2}{n^{2}+3n+5} = \lim_{x\to \infty } \frac{1- \frac{1}{n}- \frac{2}{n^{2}} }{1+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}} } =1\)
h)\(\lim_{x\to \infty }
\frac{(n-1)^{3}}{3n^{3}+5}= \lim_{x\to \infty } \frac{n^{3}-3n^{2}+3n-1}{3n^{3}+5} = \lim_{x\to \infty } \frac{1- \frac{3}{n}+ \frac{3}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}} }{3+ \frac{5}{n^{3}} } = \frac{1}{3}\)
i) \(\lim_{x\to \infty } \frac{3 \cdot 2^{2n}-2}{6 \cdot 4^{n}+5} = \lim_{x\to \infty } \frac{3- \frac{2}{4^{n}} }{6+ \frac{5}{4^{n}} } = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
j)\(\lim_{x\to \infty } \frac{4 \cdot 2^{2n+2}+2 \cdot 2^{n-1}-2}{6 \cdot 4^{n}+5} = \lim_{x\to \infty } \frac{16+( \frac{2}{4})^{n}- \frac{2}{4^{n}} }{6+ \frac{5}{4^{n}} } = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\)
k) \(\lim_{x\to \infty } ( \sqrt{8n^{2}+2n-5} -2 \sqrt{2} n}\)=korzystam z przekształconego wzoru na różnicę kwadratów
\(=\lim_{x\to \infty } \frac{2n-5}{ \sqrt{8n^{2}+2n-5} +2 \sqrt{2}n }= \frac{2}{ \sqrt{8} +2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{4}\)
l) \(\lim_{x\to \infty } \frac{1}{ \sqrt{9n^{2}+5} -3n} = \lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{9n^{2}+5}+3n }{5} = \frac{ \infty }{5} = \infty\)
m) \(\lim_{x\to \infty }( \sqrt[3]{3n^{3}+6n} -27n) = \lim_{x\to \infty } \frac{-19680+6n}{ \sqrt[3]{9n^{6}+36n^{4}+36n^{2}} + \sqrt[3]{59049n^{6}+118098n^{4}} +19683n^{3}}\)= \(-\frac{19680}{19683}\)
n)\(\sqrt[n]{3^{n}+5^{n}} =5\) - z twierdzenia o trzech ciągach
o) \(\lim_{x\to \infty } ( \frac{n+7}{n} )= \lim_{x\to \infty } (1+ \frac{1}{ \frac{n}{7} } )^{n} = e^{7}\)
zadania, do których mam wątpliwości:
1)\(\lim_{x\to \infty } (1+ \frac{1}{n^{2}} )^{n^{2}+3}\)
2)\(\lim_{x\to \infty }(1- \frac{2}{n^{2}} )^{-n+3}\)
Bardzo proszę o pomoc...
