pochodne

[anilina]

witam!
mam obliczyć pochodną:

\(\sqrt{ \frac{1-arcsiny}{1+arcsiny} }\) no i mam taki problem,ze wynik mi się nie zgadza z odpowiedzią... a liczę tak:

podstawiam sobie wyrażenie pod pierwiastkiem jako t, wyliczam \(t'=\frac{-2}{(1+arcsiny)^2\cdot \sqrt{1-y^2} }\)

i potem liczę \(\sqrt{t}= \frac{1}{2 \sqrt{t} } \cdot t'\) z tego otrzymuję:

\(\sqrt{ \frac{1+arcsiny}{1-arcsiny} } \cdot \frac{-1}{(1+arcsiny)^2 \cdot \sqrt{1-y^2} }\) niestety nie jest to wynik poprawny...ma wyjść:

\(\sqrt{ \frac{1-arcsiny}{1+arcsiny} } \cdot \frac{1}{(arcsiny)^2-1] \cdot \sqrt{1-y^2} }\)


czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć to zadanie? nie to,że jestem leniem,tylko główkuję,ale nie potrafię tego zrobić....

i drugie zadanie, też pochodna:
\(y= ln tg( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x)

dla 0<x <\frac{1}{2} \pi\)


totalnie nie wiem jak się za to zabrać,bo pierwszy raz mam do czynienia z przykładem , gdzie występuje "pi" ..pewnie trzeba to jakoś doprowadzić do takiej postaci żeby policzyć pochodną z lnx... ale nie mam pojęcia. proszę, mógłby mi ktoś pomóc? będę ogromnie wdzięczna

[octahedron]

Wynik wydaje się prawidłowy, odpowiedzi w książce nie zawsze są poprawne

\(y'= \(\ln \mbox{tg}\( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)\)'=\frac{\mbox{tg}'\(\frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)}{\mbox{tg}\( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)}=\frac{1}{\mbox{tg}\( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)}\cdot \frac{1}{\cos^2\(\frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)}\cdot\( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)'=\frac{1}{2\mbox{tg}\( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)\cos^2\(\frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)}=
=\frac{1}{2\sin\( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)\cos\(\frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2}x\)}=\frac{1}{\sin\( \frac{1}{2} \pi +x\)}=\frac{1}{\cos x}\)

[anilina]

no cóż można oszaleć, bo to już któryś z kolei błąd.. a co do tego drugiego zadania to bardzo dziękuję,ten wynik się przynajmniej zgadza;) ale hmm totalnie go nie rozumiem. dlaczego nam zniknął ln? czy tutaj korzystamy z jakiś wzorów? tzn rozumiem samą końcówkę, jak korzystamy ze wzoru podwojonego kąta dla sinus

[Lbubsazob]

Masz po prostu funkcję złożoną, niech \(\text{tg} \left( \frac{1}{4}\pi+ \frac{1}{2}x \right) =\text{kwiatek}\) i liczysz pochodną funkcji \(\ln \left( \text{kwiatek}\right)\), czyli \(\frac{1}{\text{kwiatek}} \cdot \left( \text{kwiatek}\right)'\).

BTW, funkcja wygląda tak strasznie, a taka ładna pochodna z niej wychodzi :]

[anilina]

aaa złapałam chyba,ja po prostu wolę sobie podstawić 'literkami' wszystko. czyli rozumiem ,że jak mam "pi" to pochodna z niej jest taka sama jak pochodna ze stałej,czyli zero... wielkie dzięki! nigdy bym sama tego nie zrobiła!!!;)

[octahedron]

No bo \(\pi\) to przecież taka sama stała jak np. \(2\), tylko inaczej wygląda

[anilina]

of course,nie wiem dlaczego to \pi wzbudziło we mnie taki lęk... jeżeli chodzi jeszcze o to drugie zadanie to ogarniam dlaczego z \(sin( \frac{1}{2} \pi +x )\) mamy cos x,ale takie pytanie,czy można to jakoś do tego dojść nie znając tego wzoru,czy trzeba to go prostu pamiętać?

i jeżeli mogłabym jeszcze prosić o wsparcie,to mam problem z takimi sprawami:
1. \(y=(x+k \sqrt{1-x^2} ) \cdot e^{k arcsinx}\)
tak więc liczę najpierw:

\([(x)' \cdot (k \sqrt{1-x^2})+ x \cdot (k \sqrt{1-x^2})' ]\)
potem to wykorzystuję i liczę pochodną iloczynu i właśnie głównym problemem jest to, że chyba nie wiem jak to k traktować.. to będzie stała?
przyjmując,że z=k arcsinx, to \((e^z)'=e^{k arcsinx} \cdot (k)' \cdot (arcsinx)'\)?

w każdym razie mnie wychodzi \(e^{k arcsinx} \cdot (2 \cdot \frac{k(x-k) }{ \sqrt{1-x^2} } )\),a wynik to \((1+k^2)e^{k arc sinx}\)

2. tutaj mam \(y= ln \sqrt{ \frac{1 + sinx}{1 - sinx} }\)

w skrócie: to co pod pierwiastkiem podstawiam sobie jako z, liczę \(z'= \frac{2cosx}{(1-sinx^2)}\)

\(t= \sqrt{z}\) więc \(t'= \sqrt{ \frac{1 - sinx}{1 + sinx} } \cdot \frac{cosx}{(1 - sinx)^2}\)

i potem \((ln(t))'= \frac{1}{t} \cdot t'\), co mi daje:
\(\sqrt{ \frac{1 - sinx}{1 + sinx} } \cdot \sqrt{ \frac{1 - sinx}{1 + sinx} } \cdot \frac{cosx}{(1-sinx)^2}\) i tutaj leże, wynik to \(\frac{1}{cosx}\)

3... i ostatnie \(y=ln(e^{mx} + e^{-mx})\)

tak samo chcę sobie podstawić \(k=e^{mx} + e^{-mx}\)

i teraz nie wiem, czy dobrze robię,ale k' mi wychodzi: \((e^{mx} - e^{-mx})\)

\((ln(k))= \frac{1}{k} \cdot k'\)
i jak dla mnie to \(\frac{e^{mx - e^{-mx}}}{e^{mx}+ e^{-mx}}\),a jak dla krysickiego to nie wiem bo nie ma odp do tego zadania;/ ale pewnie źle mam..

więc jakbyście mogli rzucić okiem na te zadania to będę wdzięczna,baardzo

[Lbubsazob]

Po prostu jest wzór redukcyjny: \(\sin \left( \frac{\pi}{2}+x \right)=\cos x\), zresztą to jest dość logiczne, bo przecież jak przesuniemy funkcję \(\cos x\) o \(\frac{\pi}{2}\) (obojętnie, czy w lewo, czy w prawo) to otrzymamy \(\sin x\).

Co do pierwszej z tych trzech pochodnych, to \(k\) rzeczywiście traktujesz jako stałą. Policzyłam to na szybko i po uproszczeniu wyszedł mi taki sam wynik jak Tobie.
Obawiam się, że na więcej dzisiaj nie mam siły, bo zaraz zasnę przed kompem.

[Lbubsazob]

Zad. 2
Niech \(\diamond = \sqrt{ \frac{1+\sin x}{1-\sin x} }\). Liczymy pochodną \(\left( \ln\diamond\right) '= \frac{1}{\diamond} \cdot \left( \diamond\right)'\)

\(\frac{1}{\diamond}= \frac{ \sqrt{1-\sin x} }{ \sqrt{1+\sin x} } \\
\left( \diamond\right)'= \frac{1}{2\sqrt{ \frac{1+\sin x}{1-\sin x} }} \cdot \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)'= \\ \\ = \frac{ \sqrt{1-\sin x} }{2 \sqrt{1+\sin x} } \cdot \frac{\cos x(1-\sin x)+\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)^2} = \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{1-\sin x} }{ \sqrt{1+\sin x} } \cdot \frac{\cos x(1-\sin x+1+\sin x)}{(1-\sin x)^2} = \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{1-\sin x} }{ \sqrt{1+\sin x} } \cdot \frac{2\cos x}{ \sqrt{\left( 1-\sin x\right)^4 } } = \\ \\ = \frac{\cos x}{ \sqrt{1+\sin x} \sqrt{\left( 1-\sin x\right)^3 } }\)

Teraz mnożymy \(\frac{1}{\diamond} \cdot \left( \diamond\right)'\)
\(\frac{ \sqrt{1-\sin x} }{ \sqrt{1+\sin x} } \cdot \frac{\cos x}{ \sqrt{1+\sin x} \sqrt{\left( 1-\sin x\right)^3 } }= \\ \\ = \frac{\cos x}{ \sqrt{\left( 1+\sin x\right)^2 } \sqrt{\left( 1-\sin x\right)^2 } }= \\ \\ = \frac{\cos x}{\left| 1+\sin x\right|\left| 1-\sin x\right| }= \\ = \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}= \\= \frac{1}{\cos x}\)

[Lbubsazob]

Zad. 3
\(\left[ \ln \left( e^{mx}+e^{-mx}\right) \right]'= \frac{1}{e^{mx}+e^{-mx}} \cdot \left( e^{mx}+e^{-mx}\right) ' \\ \\ \left( e^{mx}+e^{-mx}\right) '=e^{mx} \cdot \left( mx\right)'+e^{-mx} \cdot \left( -mx\right)'=me^{mx}-me^{-mx}\)

Ostatecznie:
\(\left[ \ln \left( e^{mx}+e^{-mx}\right) \right]'=\frac{me^{mx}-me^{-mx} }{e^{mx}+e^{-mx}}\)

[anilina]

dziękuję bardzo! ćwiczeniowca mam strasznego,a kolokwium tuż tuż,więc trzeba się jakoś ogarnąć.bardzo mi mi pomogłaś!