Rozwiąż równanie za pomocą macierzy:
\(\begin{cases}x+y+z=1\\ax+by+cz=d\\a^{2}b+b^{2}y+c^{2}z=d^{2}\end{cases}\)
Algebra
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
\(\begin{bmatrix}1&1&1&1\\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\end{bmatrix}\ \longrightarrow ^{w_2-aw_1}\ \begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&b-a&c-a&d-a\\a^2&b^2&c^2&d^2\end{bmatrix}\ \longrightarrow ^{w_2\cdot \frac 1{b-a}}\ \begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\a^2&b^2&c^2&d^2\end{bmatrix}\ \longrightarrow ^{w_3-a^2w_1}\ \\
\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\0&b^2-a^2&c^2-a^2&d^2-a^2\end{bmatrix}\ \longrightarrow ^{w_3-(b^2-a^2)w_2}\ \begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\0&0&c^2-a^2-(b+a)(c-a)&d^2-a^2-(b+a)(d-a)\end{bmatrix}\ \\
\longrightarrow ^{w_3\cdot \frac 1{c^2-a^2-(b+a)(c-a)}}\ \begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\0&0&1&\frac {d^2-a^2-(b+a)(d-a)}{c^2-a^2-(b+a)(c-a)}\end{bmatrix}\)
\(z=\frac {d^2-a^2-(b+a)(d-a)}{c^2-a^2-(b+a)(c-a)}=\frac{d^2-a^2-bd+ba-ad+a^2}{c^2-a^2-bc+ba-ac+a^2}=\frac{d^2-bd+ba-ad}{c^2-bc+ba-ac}=\frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}\)
\(y+\frac{c-a}{b-a}\cdot z = \frac{d-a}{b-a}\\
y= \frac{d-a}{b-a} - \frac{c-a}{b-a} \cdot \frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}=\frac{(d-a)(b-c)+(a-d)(b-d)}{(b-a)(b-c)}=\frac{(a-d)(c-b+b-d)}{(b-a)(b-c)}=\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}\\\)
\(x+y+z=1\\
x+\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}=1\\
x=1-\frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}-\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}\\
x=\frac{(b-c)(a-c)(b-a)-(a-d)(b-d)(b-a)-(a-d)(c-d)(a-c)}{(b-c)(a-c)(b-a)}\)
dolicz sobie tego iksa
\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\0&b^2-a^2&c^2-a^2&d^2-a^2\end{bmatrix}\ \longrightarrow ^{w_3-(b^2-a^2)w_2}\ \begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\0&0&c^2-a^2-(b+a)(c-a)&d^2-a^2-(b+a)(d-a)\end{bmatrix}\ \\
\longrightarrow ^{w_3\cdot \frac 1{c^2-a^2-(b+a)(c-a)}}\ \begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&\frac{c-a}{b-a}&\frac{d-a}{b-a}\\0&0&1&\frac {d^2-a^2-(b+a)(d-a)}{c^2-a^2-(b+a)(c-a)}\end{bmatrix}\)
\(z=\frac {d^2-a^2-(b+a)(d-a)}{c^2-a^2-(b+a)(c-a)}=\frac{d^2-a^2-bd+ba-ad+a^2}{c^2-a^2-bc+ba-ac+a^2}=\frac{d^2-bd+ba-ad}{c^2-bc+ba-ac}=\frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}\)
\(y+\frac{c-a}{b-a}\cdot z = \frac{d-a}{b-a}\\
y= \frac{d-a}{b-a} - \frac{c-a}{b-a} \cdot \frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}=\frac{(d-a)(b-c)+(a-d)(b-d)}{(b-a)(b-c)}=\frac{(a-d)(c-b+b-d)}{(b-a)(b-c)}=\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}\\\)
\(x+y+z=1\\
x+\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}=1\\
x=1-\frac{(a-d)(b-d)}{(a-c)(b-c)}-\frac{(a-d)(c-d)}{(b-a)(b-c)}\\
x=\frac{(b-c)(a-c)(b-a)-(a-d)(b-d)(b-a)-(a-d)(c-d)(a-c)}{(b-c)(a-c)(b-a)}\)
dolicz sobie tego iksa