Wyrażenia algebraiczne.

[pokuś]

Witam. Proszę o pomoc w takich oto zadaniach:

1. Z nierówności \(|\frac{2n+1}{n+3} -2| < \varepsilon\) , gdzie \(n \in N(dodatnich)\) i \(\varepsilon >0\), wyznaczyć n.

2. Wykazać, że \(\frac{1}{3} \le \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} +...+ \frac{1}{3n} \le \frac{1}{2}\) gdzie \(n \in N (dodatnich)\).

3. Przedstawić w postaci \(a^2 + b^2\), gdzie a jest wyrażeniem zależnym od x zaś b liczbą rzeczywistą: \(x^2+x\)

4. Przedstawić w postaci \(b(1-a^2)\), gdzie a jest wyrażeniem zależnym od x zaś b liczbą rzeczywistą: \(x-x^2\)

Najbardziej zależy mi na dwóch pierwszych zadaniach. Jeśli można proszę również o wyjaśnienie skąd się wszystko bierze.
Z góry dziękuję.

[Galen]

1)Wyłącz całość z ułamka pod modułem.
\(|\frac{2n+1}{n+3}-2|< \varepsilon\)
\(| \frac{2(n+3)-5}{n+3}-2|< \varepsilon \\
|2- \frac{5}{n+3}-2|< \varepsilon \\
|\frac{-5}{n+3}|< \varepsilon\)
n+3 jest dodatnie,to wartość bezwzględna mianownika jest równa n+3,
|-5|=5
Wartość bezwzględna ilorazu = ilorazowi wartości bezwzględnych \(| \frac{a}{b}|= \frac{|a|}{|b|}\)
Piszesz nierówność po ustaleniu wartości bezwzględnej:
\(\frac{5}{n+3}< \varepsilon \;/ \cdot (n+3)\\
5< \varepsilon n+3 \varepsilon \\
5-3 \varepsilon <n \varepsilon \\
n> \frac{5-3 \varepsilon }{ \varepsilon }\\
n> \frac{5}{ \varepsilon }-3\)

[Galen]

Zad.2 wymaga dowodu indukcyjnego.

http://www.youtube.com/results?search_q ... q=Indukcja

[irena]

2.
\(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+...+\frac{1}{3n}\ge\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+...+\frac{1}{3n}=\frac{n}{3n}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+...+\frac{1}{3n}\le\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)

Chyba nie trzeba indukcji...

[irena]

3.
\(a=\sqrt{x(x+1)}\\b=0\)

[irena]

4.
\(b=1\\a=\sqrt{x^2-x+1}\)