indukcja, ćwiecznie

[escher]

Dodawanie nierówności stronami jest dozwolone.
Dowód na matematyka.pl jest poprawny. Może byłby bardziej czytelny, gdyby nie był napisany w formie: jak do tego dojść, czyli "musiałbyś dodać do lewej to, a do prawej tamto".

Krok indukcyjny jest przeprowadzony w następujący sposób:
Pokazano, że dla każdego n zachodzi nierówność
\(\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\), a z założenia indukcyjnego mamy
\(\frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} }> \sqrt{n}\).

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy:
\(\frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} } +\frac{1}{ \sqrt{n+1} }> \sqrt{n+1}\), czyli tezę indukcyjną.
escher