Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anka
Expert
Posty: 6591 Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 1119 razy
Płeć:
Post
autor: anka » 02 paź 2011, 03:14
MrVonzky pisze:
jest przykład:
założenie \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
http://www.matematyka.pl/215191.htm#p798433
znalazłam inny dowód tej nierówności z pierwiastkami:
MrVonzky pisze:
\(\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } \ge \sqrt{n}\)
http://www.matematyka.pl/87241.htm#p326591
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
MrVonzky
Stały bywalec
Posty: 422 Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Post
autor: MrVonzky » 02 paź 2011, 11:26
chyba nikt nie ma pomysłu
MrVonzky
Stały bywalec
Posty: 422 Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Post
autor: MrVonzky » 02 paź 2011, 11:26
oo, nie zauważyłem, sprawdzam...
MrVonzky
Stały bywalec
Posty: 422 Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Post
autor: MrVonzky » 02 paź 2011, 11:34
do tego I:
jest tak:
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2}\)
ja zawsze z prawej strony dopisuję od razu (n+1) bez n w taki sposób:
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{\left( n+1\right)}\)
jest to dobry zapis?
MrVonzky
Stały bywalec
Posty: 422 Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Post
autor: MrVonzky » 02 paź 2011, 11:45
mam pytanie: czy tym razem mój dowód jest przeprowadzony słusznie
\(1 \le 1\) , ok
założenie indukcyjne: \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
teza indukcyjna:\(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
na mocy założenia
\(2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
.
.
\(1 \ge 0\) jest prawdziwe
Z założenia wynika, że wzór jest prawdziwy, wykazałem słusznośc tego wzoru dla nastepnika licznu naturalnej. Korzsytając z ZIM stwierdzam, że nierównośc jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
anka
Expert
Posty: 6591 Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 1119 razy
Płeć:
Post
autor: anka » 02 paź 2011, 14:47
jest tak:
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2}\)
To już jest dowód.
Lewa strona to lewa strona tezy, po prawej stronie skorzystano już z założenia + ostatni wyraz prawej strony tezy.
ja zawsze z prawej strony dopisuję od razu (n+1) bez n w taki sposób:
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{\left( n+1\right)}\)
jest to dobry zapis?
Ten zapis wyżej to teza.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
anka
Expert
Posty: 6591 Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 1119 razy
Płeć:
Post
autor: anka » 02 paź 2011, 14:52
MrVonzky pisze: mam pytanie: czy tym razem mój dowód jest przeprowadzony słusznie
\(1 \le 1\) , ok
założenie indukcyjne: \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
teza indukcyjna:\(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
na mocy założenia
\(2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
.
.
\(1 \ge 0\) jest prawdziwe
Z założenia wynika, że wzór jest prawdziwy, wykazałem słusznośc tego wzoru dla nastepnika licznu naturalnej. Korzsytając z ZIM stwierdzam, że nierównośc jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Na mocy założenia to mamy, że
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2}\)
Wystarczy więc udowodnić:
\(2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
irena
Guru
Posty: 22300 Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9862 razy
Płeć:
Post
autor: irena » 02 paź 2011, 15:42
Zrozumiałam, że trzeba pokazać, że
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\sqrt{n}\)
\(n=1\\L=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\ge\sqrt{1}=P\)
\(Z.\\\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\sqrt{n}\)
\(T.\\\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge\sqrt{n+1}\)
\(D.\\L=\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Obie strony są dodatnie, więc można podnieść je do kwadratu
\(L^2\ge n+\frac{1}{n+1}+2\sqrt{\frac{n}{n+1}}=\frac{n^2+n+1+2\sqrt{n(n+1)}}{n+1}>\frac{n^2+n+1+2\sqrt{n^2}}{n+1}=\frac{n^2+3n+1}{n+1}>\frac{n^2+2n+1}{n+1}=n+1\\L\ge\sqrt{n+1}\)
Nie wiem - o to chodziło?
anka
Expert
Posty: 6591 Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 1119 razy
Płeć:
Post
autor: anka » 02 paź 2011, 15:45
Chodziło też o rozwiązanie z linka
http://www.matematyka.pl/162314.htm#p604997
do obu stron nierówności dodawał inne wyrażenia.
Czy to jest poprawne?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
kamil13151
Fachowiec
Posty: 1528 Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 502 razy
Płeć:
Post
autor: kamil13151 » 02 paź 2011, 15:52
Możesz napisać w tamtym wątku czy tak można, ale jestem (prawie) pewien, że można. Skoro pierwsza nierówność jest prawdziwa i dodamy do niej drugą również prawdziwą (o tym samym zwrocie) to nierówność powstała jest dalej prawdziwa, a tego mamy dowieść.
irena
Guru
Posty: 22300 Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9862 razy
Płeć:
Post
autor: irena » 02 paź 2011, 16:02
Jeśli
\(\{a>b\\c>d\)
to na pewno prawdziwe jest
\(a+c>b+d\)
anka
Expert
Posty: 6591 Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 1119 razy
Płeć:
Post
autor: anka » 02 paź 2011, 16:04
Pierwszy raz miałam do czynienia z dowodem przeprowadzonym w ten sposób.
Całe życie człowiek się uczy
Dzięki za zainteresowanie.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
MrVonzky
Stały bywalec
Posty: 422 Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Post
autor: MrVonzky » 02 paź 2011, 16:46
czyli Aniu jednak można tak sobie dodawać, to mnie pociesza
Galen
Guru
Posty: 18457 Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9162 razy
Post
autor: Galen » 02 paź 2011, 18:52
http://www.matematyka.pl/162314.htm#p604997
Anka,zauważ że tam jest błąd chyba w zapisie...Do obu stron powinno się dodać to samo.
Po lewej dodano
\(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) to i tyle trzeba dodać po prawej stronie.
Prawa ma postać:
\(\sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1} }= \frac{ \sqrt{n(n+1)}+1 }{ \sqrt{n+1} } \ge \frac{ \sqrt{n^2}+1 }{ \sqrt{n+1} }= \frac{n+1}{ \sqrt{n+1} }= \sqrt{n+1}\)
Teraz można stwierdzić,że teza indukcyjna jest udowodniona.
Zatem dla
\(n \ge 1\;\;\;jest\;\;\; \frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} }+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ge \sqrt{n+1}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
MrVonzky
Stały bywalec
Posty: 422 Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Post
autor: MrVonzky » 02 paź 2011, 20:48
nie rozumiem już... to w końcu jest to dobry dowód czy nie? Można tak sobie operować i dodawać czy nie?