indukcja, przykład

[MrVonzky]

Udowodnić indukcyjnie, nie wychodzi mi w obliczeniach...

\(2 \cdot 1^2+3 \cdot 2^2+4 \cdot 3^2+...+n(n-1)^2+(n+1)n^2= \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}\)

to tak naprawdę muszę rozwiązać równanie, by mi wyszło 0=0

\(\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12} + (n+1)n^2+(n+2)(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(3n+4)}{12}\)

[radagast]

to nie jest prawda !
Dla n=1:
\(L=2 \cdot 1^2=2\)
\(P= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \to 4}{12} =2\)
\(l=1 \neq 2=P\)

[MrVonzky]

rzeczywiście, zły przykład ktoś podał...

[MrVonzky]

nie zakladam nowego tematu...
jak mamy coś takiego:

udowodnić indukcyjnie, że wyrażenie \(n^5-n\) jest podzielnie przez \(30\)


musimy udowodnić, że \(n^5-n=30c\), gdzie c należy do naturalnych
to sprawdzam dla\(n_0=1\), \(1-1=0\), w tym wypadku \(c=0\) więc się zgadza.
zakladam, że dla każdego \(n=k\) jest prawdziwe

\(k^5-k=30b\) \(b\) jest dowolną liczbą naturalną
stawiam, tezę, że \(n=k+1\) jest poprawne

\((k+1)^5-(k+1)=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1=30b+5k^4+10k^3+10k^2+5k=\)
\(30b+5k(k^3+2k^2+2k+1)=30b+5k(k+1)(k^2+k+1)\) i mam teraz jakoś udowadniać, że \((k^2+k+1)\) jest podzielne przez \(3\)? znów indukcyjnie, czy jak?

[radagast]

Dobrze rozumujesz ale coś jest źle bo \(k^2+k+1\) nie musi dzielić się przez 3 (patrz \(k=2)\)

[anka]

udowodnić indukcyjnie, że wyrażenie \(n^5-n\) jest podzielnie przez \(30\)

Koniecznie musi być indukcyjnie?

[MrVonzky]

inaczej to sobie poradzę poprzez rozkład na czynniki. Tak musze to zrobic własnie indukcyjnie i tu mam problem, bo nie wiem jak to ugryść

[radagast]

\(k(k+1)(k^2+k+1)\) masz pokazać , ze to dzieli się przez 6 (i to się da zrobić)

Może być indukcyjnie