Prosze o pomoc w obliczeniu ekstremum funkcji

[lepki22]

Prosze o pomoc w obliczeniu ekstremum funkcji i łopatologiczne wytlumaczenie przykładu

\(f(x,y)=(x+1)^3 - (y-3)^3\)

[domino21]

najpierw liczysz pochodne cząstkowe:

\(\frac{ \partial f}{\partial x} =3(x+1)^2
\frac{\partial f}{\partial y} =-3(y-3)^2\)

przyrównywając obie do zera znajdziesz punkty stacjonarne - podejrzane o istnienie w nich ekstremum

\(\begin{cases} 3(x+1)^2 =0 \\ -3(y-3)^2 =0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}\)


liczysz wartość wyrażenia \(W(x_o, y_o) =\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x_o,y_o)\cdot \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x_o,y_o)- \frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y}\), gdzie punkt \((x_o, y_o)\) to wyznaczony punkt stacjonarny

\(\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} =6(x+1)
\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=-6(y-3)
\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}=0\)

\(W(-1,3)=6(-1+1) \cdot [-6(3-3)]-0=0\)

więc to kryterium nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum funkcji

[octahedron]

Ta funkcja nie ma ekstremów, bo \(f_{x}=3(x+1)^2\Rightarrow \begin{cases}f_x=0,\ x=-1\\f_x>0,\ x\ne -1 \end{cases}\), czyli dla dowolnego ustalonego \(y_o\) funkcja \(g(x)=f(x,y_o)\) jest rosnąca i ma tylko punkt przegięcia w \((-1,y_o)\)

[lepki22]

czyli rozwiazanie octahedron-a moge traktowac jako uzupezlnienie do domino21?

[octahedron]

Nie, to wprost dowodzi, że funkcja nie ma ekstremów.