przedziały, parametry

[domino21]

przedziały A i B określono są następująco: \(A=(a^2,a)\) gdzie 0<a<1 i \(B=(b,2b)\) gdzie b>0.

dla jakich wartości a istnieje wartość parametru b, dla której \(A \subset B\)?

[domino21]

mam pewien pomysł, ale ktoś musiałby mi go potwierdzić:

\(\begin{cases} a^2>b \\ 2b>a \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} 2a^2>2b \\ 2b>a \end{cases} \ \Rightarrow \ 2a^2>2b>a\)

\(2a^2>2b>a
a^2>b>0,5a\)

\(a^2>0,5a
a^2-0,5a>0
a(a-0,5)>0
a\in (-\infty;0)\cup (\frac{1}{2};+\infty) \ \wedge \ a\in (0,1) \ \Rightarrow \ a\in (\frac{1}{2},1)\)

ale jak wymyślić rozwiązanie na poziomie 3 klasy gimnazjum?

[irena]

Z nierówności \(a^2>0,5a\), przez podzielenie stronami przez a (dodatnie) można otrzymać \(a>0,5\)

[domino21]

fakt, dzięki wielkie

a ogólnie rozwiązanie jak na gimnazjum myślisz, że jest przystępne?

[irena]

Czyli:
\(a^2>b\\2a^2>2b\\2b>a\\2a^2>a\ /:a\\2a>1\\a>0,5\)

[irena]

Myślę, że tak. Ale nie jest to zadanie na poziomie podstawowym. Jeśli jest w zbiorze zadań, to pewnie z gwiazdką.

[domino21]

konkurs, etap powiatowy, 30 marca 2007r.

[506]

Jeszcze tak można:
\(2b - b > a - a^2\) - z rozpiętości przedziałów i \(b < a^2\)
\(b > a(1 - a)\) i \(b < a^2\)

\(a - a^2 < a^2\)
\(a - 2a^2 < 0\)
\(a(1-2a) < 0\)
i reszta tak samo

[domino21]

chodzi o długość przedziału, tak?
dziękować

[506]

tak @domino21:)
Może lekko zgrabniejszy zapis, chociaż sam oceń:)