ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
\(f(x,y)=\frac{8}{x}+\frac{x}{y}+y+2
x,y\ne 0
\begin{cases}f_x=-\frac{8}{x^2}+\frac{1}{y}=0\\f_y=-\frac{x}{y^2}+1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2=8y\\x=y^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=8y\\x^2=y^4 \end{cases} \Rightarrow 8y=y^4 \Rightarrow y(8-y^3)=0 \Rightarrow
\Rightarrow \cancel{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\ \vee\ \begin{cases}x=4\\y=2 \end{cases}
f_{xx}=\frac{16}{x^3}
f_{yy}=\frac{2x}{y^3}
f_{xy}=f_{yx}=-\frac{1}{y^2}
W(x,y)=f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}\cdot f_{yx}
W(4,2)=\frac{3}{16}>0\ \wedge\ f_{xx}(4,2)=\frac{1}{4}>0 \Rightarrow {\text minimum w (4,2)}\)
x,y\ne 0
\begin{cases}f_x=-\frac{8}{x^2}+\frac{1}{y}=0\\f_y=-\frac{x}{y^2}+1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2=8y\\x=y^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=8y\\x^2=y^4 \end{cases} \Rightarrow 8y=y^4 \Rightarrow y(8-y^3)=0 \Rightarrow
\Rightarrow \cancel{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\ \vee\ \begin{cases}x=4\\y=2 \end{cases}
f_{xx}=\frac{16}{x^3}
f_{yy}=\frac{2x}{y^3}
f_{xy}=f_{yx}=-\frac{1}{y^2}
W(x,y)=f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}\cdot f_{yx}
W(4,2)=\frac{3}{16}>0\ \wedge\ f_{xx}(4,2)=\frac{1}{4}>0 \Rightarrow {\text minimum w (4,2)}\)