diagonalizacja macierzy

[anetaaneta1]

Zdiagonalizować macierz

\(A=\begin{bmatrix}7& -8\\ 3&-4 \end{bmatrix}\)

Z góry dzięki

[octahedron]

Wartości własne:
\(\det\begin{bmatrix}7-\lambda& -8\\ 3&-4-\lambda \end{bmatrix}=(7-\lambda)(-4-\lambda)+24=\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda_1=-1,\ \lambda_2=4\)

Macierz ma wymiar \(2\times 2\) i posiada \(2\) różne wartości własne, czyli można ją zdiagonalizować.

Wektory własne
\(\lambda=-1:
\begin{bmatrix}8& -8\\ 3&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=0\Rightarrow \begin{cases}8x-8y=0\\3x-3y=0 \end{cases} \Rightarrow x=y \Rightarrow u_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}
\lambda=4:
\begin{bmatrix}3& -8\\ 3&-8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=0\Rightarrow \begin{cases}3x-8y=0\\3x-8y=0 \end{cases} \Rightarrow 3x=8y \Rightarrow u_2=\begin{bmatrix}8\\3 \end{bmatrix}\)

stąd

\(A= \begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{3}{5}&\frac{8}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{bmatrix}\)

[anetaaneta1]

Macierz ma wymiar \(2\times 2\) i posiada \(2\) różne wartości własne, czyli można ją zdiagonalizować.


A kiedy nie można zdiagonalizować macierzy ?

[octahedron]

Macierz o wymiarze \(n\times n\) musi mieć \(n\) różnych wartości własnych. Jeśli nie ma, to się nie da.

[anetaaneta1]

a mam jeszcze jedno pytanie jakby polecenie zadania było wyznaczyć bazę w której dana macierz jest diagonalna ? to ta baza to była by złożona z wektorów własnych ? I też w macierzy nxn musi być n wektorów różnych ?

[octahedron]

Nie wiem, czy to faktycznie by chodziło o diagonalizację. Wrzuć całe zadanie to zobaczymy

[anetaaneta1]

W przestrzeni wektorowej V nad ciałem C liczb zespolonych dana jest baza \((v_1,v_2,v_3)\). przekształcenie liniowe \(f:V-->V\) ma w tej bazie macierz
\(A=\begin{bmatrix}i& 0&0 \\ 0&1&-1\\0&1&1 \end{bmatrix}\)
a) wyznaczyć obraz f(v) dowolnego wektora \(v\in V\)
b) czy istnieje baza w przestrzeni wektorowej V w której macierz przekształcenia f ma macierz diagonalną ? Jeżeli taka baza istnieje to wskazać tę bazę

[octahedron]

Ale chyba musisz to zadanie dać w nowym wątku, bo dopisywać podobno nie można