proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań z indukcji,
zad 1
\(1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
zad 2
\(n^3-n=6p\) gdzie \(p \in C\)
Będę bardzo wdzięczny za rozwiązanie tych dwóch zadań oraz za wyjaśnienie jak rozwiązywać podobne zadania bo niestety matematyk ze mnie kiepski
zadanie z indukcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(n=1\\L=1^2=1\\P=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1\\L=P\)
\(Z.\\k\in N_+\\1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\T.\\1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
\(D.\\L=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(k+2)+6(k+1)^2}{6}=\\=\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}=P\)
\(n=1\\L=1^2=1\\P=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1\\L=P\)
\(Z.\\k\in N_+\\1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\T.\\1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
\(D.\\L=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(k+2)+6(k+1)^2}{6}=\\=\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}=P\)
2.
\(n^3-n=6p,\ p\in C\)
\(n=1\\1^3-1=0=6\cdot0,\ \ 0\in C\)
\(Z.\\k\in C\\k^3-k=6a,\ \ a\in C\\T.\\(k+1)^3-(k+1)=6b,\ \ b\in C\)
\(D.\\L=(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=k^3-k-3k(k-1)=6a-3\cdot2c,\ \ c\in C\\(k+1)^2-(k+1)=6a-6c=6(a-c)=6b\\b=a-c\in C\)
wyjaśnienie:
\(k(k-1)\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych. Jedna z nich musi być parzysta. Iloczyn taki jest więc liczba podzielną przez 2. I to też można udowodnić indukcyjnie.
\(n^3-n=6p,\ p\in C\)
\(n=1\\1^3-1=0=6\cdot0,\ \ 0\in C\)
\(Z.\\k\in C\\k^3-k=6a,\ \ a\in C\\T.\\(k+1)^3-(k+1)=6b,\ \ b\in C\)
\(D.\\L=(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=k^3-k-3k(k-1)=6a-3\cdot2c,\ \ c\in C\\(k+1)^2-(k+1)=6a-6c=6(a-c)=6b\\b=a-c\in C\)
wyjaśnienie:
\(k(k-1)\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych. Jedna z nich musi być parzysta. Iloczyn taki jest więc liczba podzielną przez 2. I to też można udowodnić indukcyjnie.