Całka nieoznaczona do sprawdzenia

[DKVEB]

Witam, mam taka całke: \(\int_{}^{}x^3(x^2-1)^7\) rozwiazuje ja w nastepujacy sposób: \(\int_{}^{}x^3(x^2-1)^7= \int_{}^{} xx^2(x^2+1)^7=\) tu robie podstawienie :
\(t=x^2+1,
dt=2xdx,
\frac{dt}{2}=xdx,
t+1=x^2\)
i dalej \(= (t+1)t^7\frac{dt}{2}= \frac{1}{2} \int_{}^{} (t+1)t^7dt\) teraz przez czesci:

\(u=t+1, v'=t^7\)
\(u'=1, v= \frac{t^8}{8}\)

później \(\frac{(t+1)t^8}{8}- \int_{}^{} \frac{t^8}{8}dt= \frac{(t+1)t^8}{8} - \frac{1}{8} \int_{}^{}t^8dt= \frac{(t+1)t^8}{8}- \frac{1}{8}* \frac{t^9}{9} = \frac{x^2(x^2-1)^8}{8}- \frac{(x^2-1)^9}{72}\) a wynik ma wyjść: \(\frac{(x^2-1)^9}{18}+ \frac{(x^2-1)^8}{16}\) Czy mółby ktoś sprawdzić gdzie robie błąd ? Troche mnie to męczy
z góry dzięki

[radagast]

to nie jest dobrze. Błąd robisz juz tu:

\(\int_{}^{}x^3(x^2-1)^7= \int_{}^{} xx^2(x^2+1)^7=\)

pomijam brak "dt". Z minusa robisz plus, a to nie jest bez znaczenia.
Metoda moze i dobra ale czy wyjdzie po poprawieniu bledów rachunkowych ?... Sprawdź sam to moze sie czegoś przy okazji nauczysz . Ja ide do pracy. Powodzenia.
A tak przy okazji: 1.30 to nie jest dobra godzina do liczenia czegokolwiek. Całek w szczególności.

[irena]

Tak, jak napisała Radagast- trochę namieszane ze znakami. A zaczynasz dobrze:

\(\int x^3(x^2-1)^7dx=\int x\cdot x^2(x^2-1)^7dx=\\ \left(x^2-1=t\\2xdx=dt\\xdx=\frac{1}{2}dt\\x^2=t+1 \right) \\=\int(t+1)\cdot t^7\cdot\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\int(t^8+t^7)dt=\frac{1}{2}(\frac{1}{9}t^9+\frac{1}{8}t^8)=\frac{t^9}{18}+\frac{t^8}{16}=\frac{(x^2-1)^9}{18}+\frac{(x^2-1)^8}{16}+C\)

[irena]

\(\frac{x^2(x^2-1)^8}{8}- \frac{(x^2-1)^9}{72}\) a wynik ma wyjść: \(\frac{(x^2-1)^9}{18}+ \frac{(x^2-1)^8}{16}\) Czy mółby ktoś sprawdzić gdzie robie błąd ? Troche mnie to męczy
z góry dzięki

A wynik masz dobry:
\(\frac{x^2(x^2-1)^8}{8}-\frac{(x^2-1)^9}{72}=\frac{9x^2(x^2-1)^8-(x^2-1)(x^2-1)^8}{72}=\frac{(x^2-1)^8(9x^2-x^2+1)}{72}=\\=\frac{(x^2-1)^8(8x^2-8+9)}{72}=\frac{(x^2-1)^8(8x^2-8)+9(x^2-1)^8}{72}=\\=\frac{8(x^2-1)^9}{72}+\frac{9(x^2-1)^8}{72}=\frac{(x^2-1)^9}{9}+\frac{(x^2-1)^8}{8}\)