dana jest funkcja:
\(f(x)=\frac{x}{x^2+x+9}\)
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
\(f(x)=\frac{x}{x^2+x+9}\)
\(x^2+x+9 \neq 0 \ \to \ x\in \empty \ (\Delta <0 )\)
\(f'(x)=\frac{x^2+x+9-x(2x+1)}{(x^2+x+9)^2}=\frac{9-x^2}{(x^2+x+9)^2}\)
\(f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ 9-x^2=0 \ \Rightarrow \ x=-3 \ \vee \ x=3\)
\(f'(x)> 0 \ \Leftrightarrow \ 9-x^2>0 \ \Rightarrow \ x\in (-3;3 )
f'(x)<0 \ \Leftrightarrow \ 9-x^2<0 \ \Rightarrow \ x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty )\)
funkcja maleje w przedziale \((-\infty;-3)\) oraz w przedziale \((3;+\infty)\)
w \(x=-3\) osiąga minimum
\(f(-3)=\frac{-3}{9-3+9}=-\frac{1}{5}\)
rośnie w przedziale \((-3;3 )\)
w \(x=3\) osiąga max
\(f(3)=\frac{3}{9+3+9}=\frac{1}{7}\)
a dalej znów maleje
\(x^2+x+9 \neq 0 \ \to \ x\in \empty \ (\Delta <0 )\)
\(f'(x)=\frac{x^2+x+9-x(2x+1)}{(x^2+x+9)^2}=\frac{9-x^2}{(x^2+x+9)^2}\)
\(f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ 9-x^2=0 \ \Rightarrow \ x=-3 \ \vee \ x=3\)
\(f'(x)> 0 \ \Leftrightarrow \ 9-x^2>0 \ \Rightarrow \ x\in (-3;3 )
f'(x)<0 \ \Leftrightarrow \ 9-x^2<0 \ \Rightarrow \ x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty )\)
funkcja maleje w przedziale \((-\infty;-3)\) oraz w przedziale \((3;+\infty)\)
w \(x=-3\) osiąga minimum
\(f(-3)=\frac{-3}{9-3+9}=-\frac{1}{5}\)
rośnie w przedziale \((-3;3 )\)
w \(x=3\) osiąga max
\(f(3)=\frac{3}{9+3+9}=\frac{1}{7}\)
a dalej znów maleje