granice, pochodna

[Jula272]

oblicz granicę:

\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\)

[radagast]

\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}} =\lim_{x\to 2} e^{ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)\)
policzmy na razie granicę:
\(\lim_{x\to 2}ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)=
\lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x^3-8} ln {\frac{x^2+3}{x+5}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ ln {\frac{x^2+3}{x+5} }}{x^3-8}} =^H
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{x+5}{x^2+3} \cdot \frac{2x(x+5)-(x^2+3)}{(x+5)^2} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} { \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} \cdot \frac{1}{3x^2} } =
4 \cdot \frac{21}{7 \cdot 7 \cdot 12}= \frac{1}{7}\)
No to \(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=e^{ \frac{1}{7}}\)

Ale rachunki to lepiej sprawdź i w razie czego pytaj

[octahedron]

Albo, korzystając z zależności:
\(\lim_{x\to x_o}h(x)=0\Rightarrow \lim_{x\to x_o}\(1+h(x)\)^{\frac{1}{h(x)}}=e\)

\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=\lim_{x\to 2} \left(\frac{x+5+x^2+3-x-5}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=\lim_{x\to 2} \left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=
=\lim_{x\to 2} \left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\cdot\frac{x+2}{x^3-8}\cdot\frac{x^2-x-2}{x+5}}=\lim_{x\to 2} \[\left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\]^{\frac{x+2}{(x-2)(x^2+2x+4)}\cdot\frac{(x-2)(x+1)}{x+5}}=
=\lim_{x\to 2} \[\left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\]^{\frac{(x+2)(x+1)}{(x^2+2x+4)(x+5)}}=e^{{\frac{(2+2)(2+1)}{(2^2+2\cdot 2+4)(2+5)}}}=e^{\frac{1}{7}}\)

[Jula272]

\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}} =\lim_{x\to 2} e^{ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)\)
policzmy na razie granicę:
\(\lim_{x\to 2}ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)=
\lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x^3-8} ln {\frac{x^2+3}{x+5}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ ln {\frac{x^2+3}{x+5} }}{x^3-8}} =^H
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{x+5}{x^2+3} \cdot \frac{2x(x+5)-(x^2+3)}{(x+5)^2} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} { \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} \cdot \frac{1}{3x^2} } =
4 \cdot \frac{21}{7 \cdot 7 \cdot 12}= \frac{1}{7}\)
No to \(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=e^{ \frac{1}{7}}\)

Ale rachunki to lepiej sprawdź i w razie czego pytaj

Z jakiej reguły de L'Hospitala trzeba było skorzystać? Jak powinien wyglądać ten wzór? Bo do tego momentu wszystko rozumiem, ale dalej jest mi ciężko się połapać.
Z góry bardzo dziękuję za wytłumaczenie.

[radagast]

Z jakiej reguły de L'Hospitala trzeba było skorzystać? Jak powinien wyglądać ten wzór? Bo do tego momentu wszystko rozumiem, ale dalej jest mi ciężko się połapać.
Z góry bardzo dziękuję za wytłumaczenie.

o z takiej : http://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82 ... 7Hospitala

To jest dość poważne narzędzie (trudne do udowodnienia) ale baaardzo ułatwia rachunki. Dlatego jest często nadużywane.
Jednak stopień trudności Twojego przykładu uzasadnia użycie reguły de l'Hospitala.

Niżej masz jednak bez reguły sposób Octahedrona - muszę przyznać, ze ładniejszy niż mój.