\(\int_{}^{}\)\(\sqrt{36-x^2}\)dx
Pozdrawiam
Oblicz całkę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
Re: Oblicz całkę
\(\int \sqrt{36-x^2}dx=\frac x2 \sqrt{36-x^2} +\frac {36}2 \arcsin \frac x6=\frac x2 \sqrt{36-x^2} +18 \arcsin \frac x6 + c,\ \ |x| \le 6\)
http://pl.wikisource.org/wiki/Ca%C5%82k ... wymiernych <-- wzór (A01)
http://pl.wikisource.org/wiki/Ca%C5%82k ... wymiernych <-- wzór (A01)
-
Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
Re: Oblicz całkę
\(\int \sqrt{36-x^2} \mbox{d} x \\
\sqrt{36-x^2} =xt+6 \\
36-x^2=x^2t^2+12xt+36 \\
x^2 \left( t^2-1\right)=-12xt \\
x^2= \frac{-12xt}{t^2-1} \\
x=- \frac{12t}{t^2-1} \\
\mbox{d}x= \frac{12t^2+12}{ \left( t^2-1\right)^2 }\)
Po wstawieniu tego wszystkiego do wzoru mamy całkę:
\(\int \left( -\frac{12t^2}{t^2-1}+6 \right) \left( \frac{12t^2+12}{ \left( t^2-1\right)^2}\right)\mbox{d} t =\int - \frac{72t^4+144t^2+72}{t^6-3t^4+3t^2-1}\mbox{d}t= \int \frac{-72 \left(t^2+1 \right)^2 }{ \left( t-1\right)^3 \left( t+1\right)^3 }\mbox{d}t\)
\(\frac{ \left( t^2+1\right)^2 }{ \left(t^2-1 \right)^3 }\) - ręcznie mi się nie chciało rozkładać na ułamki proste, ale komputer rozłożył to tak:
\(- \frac{1}{4(t+1)}+ \frac{1}{4(t+1)^2}- \frac{1}{2(t+1)^3}+ \frac{1}{4(t-1)} + \frac{1}{4(t-1)^2}+ \frac{1}{2(t-1)^3}\)
Każdą z tych całek oczywiście łatwo policzyć przez podstawienie...
\sqrt{36-x^2} =xt+6 \\
36-x^2=x^2t^2+12xt+36 \\
x^2 \left( t^2-1\right)=-12xt \\
x^2= \frac{-12xt}{t^2-1} \\
x=- \frac{12t}{t^2-1} \\
\mbox{d}x= \frac{12t^2+12}{ \left( t^2-1\right)^2 }\)
Po wstawieniu tego wszystkiego do wzoru mamy całkę:
\(\int \left( -\frac{12t^2}{t^2-1}+6 \right) \left( \frac{12t^2+12}{ \left( t^2-1\right)^2}\right)\mbox{d} t =\int - \frac{72t^4+144t^2+72}{t^6-3t^4+3t^2-1}\mbox{d}t= \int \frac{-72 \left(t^2+1 \right)^2 }{ \left( t-1\right)^3 \left( t+1\right)^3 }\mbox{d}t\)
\(\frac{ \left( t^2+1\right)^2 }{ \left(t^2-1 \right)^3 }\) - ręcznie mi się nie chciało rozkładać na ułamki proste, ale komputer rozłożył to tak:
\(- \frac{1}{4(t+1)}+ \frac{1}{4(t+1)^2}- \frac{1}{2(t+1)^3}+ \frac{1}{4(t-1)} + \frac{1}{4(t-1)^2}+ \frac{1}{2(t-1)^3}\)
Każdą z tych całek oczywiście łatwo policzyć przez podstawienie...
